Questão 1 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Uma partícula desloca-se ao longo do eixo x, partindo de x=0 \mathrm{~m} em t=0 \mathrm{~s}. Sua equação horária é
x(t)=7 t-5 t^{3} \quad(t \geq 0)
com x em m e t em s. O instante em que a partícula atinge sua posição máxima é
(a) t=\sqrt{\frac{6}{7}} \mathrm{~s}
(b) t=\sqrt{\frac{15}{7}} \mathrm{~s}
(c) t=\sqrt{\frac{21}{2}} \mathrm{~s}
(d) t=\sqrt{\frac{21}{5}} \mathrm{~s}
(e) t=\sqrt{\frac{5}{21}} \mathrm{~s}
(f) t=\sqrt{\frac{2}{21}} \mathrm{~s}
(g) t=\sqrt{\frac{7}{15}} \mathrm{~s}
(h) t=\sqrt{\frac{7}{6}} \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo x como função do tempo:
x(t)=7t-5t^{3}\qquad(t\ge 0),
com x em metros e t em segundos.
A pergunta é: “Qual o instante t em que a partícula atinge sua posição máxima?” — isto é, achar o valor de t\ge 0 em que x(t) é máximo.

Passo 2

Ideia chave (passo-a-passo didático): para encontrar máximos de uma função suave de uma variável, procuramos pontos críticos onde a derivada é zero (ou não existe). Aqui a derivada de x(t) em relação a t tem interpretação física de velocidade v(t). Então:
  1. Calculemos a derivada v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
  2. Ache os pontos t com v(t)=0 (esses são candidatos a máximos/minimos).
  3. Use o teste da segunda derivada (aceleração) ou o comportamento da função para decidir se é máximo.
Regra de derivação usada: se f(t)=a\,t^{n} então \dfrac{d}{dt}f(t)=a\,n\,t^{n-1}. Vou aplicar isso aos termos de x(t).

Passo 3

Calcule a velocidade v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Aplicando a regra acima:
v(t)=\frac{d}{dt}\big(7t-5t^{3}\big)=7-15t^{2}.
Agora achamos os pontos críticos resolvendo v(t)=0:
7-15t^{2}=0.
Isolando t^{2}:
15t^{2}=7\quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{7}{15}.
Como o problema exige t\ge 0, tomamos a raiz positiva:
t=\sqrt{\frac{7}{15}}.

Passo 4

Precisamos verificar que esse ponto é realmente um máximo (e não um mínimo ou ponto de inflexão). Use o teste da segunda derivada. A segunda derivada de x(t) é a derivada de v(t):
a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\big(7-15t^{2}\big)=-30t.
Avalie em t=\sqrt{\dfrac{7}{15}}>0:
a\!\left(\sqrt{\frac{7}{15}}\right)=-30\sqrt{\frac{7}{15}}<0.
Segunda derivada negativa significa que a função x(t) é côncava para baixo ali, então o ponto crítico é um máximo local. Podemos ainda ver que é o máximo global para t\ge 0 porque x(0)=0 e quando t\to\infty o termo -5t^{3} domina tornando x(t)\to -\infty, logo o máximo global ocorre no único máximo local encontrado.
Como verificação rápida do valor positivo de x nesse ponto: com t^{2}=\dfrac{7}{15} temos
x(t)=t\big(7-5t^{2}\big)=t\left(7-5\cdot\frac{7}{15}\right)=t\left(7-\frac{7}{3}\right)=t\cdot\frac{14}{3}>0,
confirmando que esse ponto dá posição maior que x(0)=0.

Passo 5

Compare com as alternativas: a expressão encontrada t=\sqrt{\dfrac{7}{15}} corresponde à alternativa (g).

Resposta

(g) t=\sqrt{\dfrac{7}{15}}\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados