Questão 1 (
ponto): Uma partícula desloca-se ao longo do eixo
, partindo de
em
. Sua equação horária é
com
em m e
em s. O instante em que a partícula atinge sua posição máxima é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo
como função do tempo:
com
em metros e
em segundos.
A pergunta é: “Qual o instante em que a partícula atinge sua posição máxima?” — isto é, achar o valor de
em que
é máximo.
A pergunta é: “Qual o instante
Passo 2
Ideia chave (passo-a-passo didático): para encontrar máximos de uma função suave de uma variável, procuramos pontos críticos onde a derivada é zero (ou não existe). Aqui a derivada de
em relação a
tem interpretação física de velocidade
. Então:
- Calculemos a derivada
. - Ache os pontos
com (esses são candidatos a máximos/minimos). - Use o teste da segunda derivada (aceleração) ou o comportamento da função para decidir se é máximo.
Regra de derivação usada: se
então
. Vou aplicar isso aos termos de
.
Passo 3
Calcule a velocidade
. Aplicando a regra acima:
Agora achamos os pontos críticos resolvendo
:
Isolando
:
Como o problema exige
, tomamos a raiz positiva:
Passo 4
Precisamos verificar que esse ponto é realmente um máximo (e não um mínimo ou ponto de inflexão). Use o teste da segunda derivada. A segunda derivada de
é a derivada de
:
Avalie em
:
Segunda derivada negativa significa que a função
é côncava para baixo ali, então o ponto crítico é um máximo local. Podemos ainda ver que é o máximo global para
porque
e quando
o termo
domina tornando
, logo o máximo global ocorre no único máximo local encontrado.
Como verificação rápida do valor positivo de
nesse ponto: com
temos
confirmando que esse ponto dá posição maior que
.
Passo 5
Compare com as alternativas: a expressão encontrada
corresponde à alternativa (g).
Resposta
(g)