Um bloco A de massa mA se movimenta inicialmente com velocidade v quando colide com um bloco B, de massa mB, que se encontra em repouso. Se o coeficiente de restituição entre os blocos é varepsilon, e o coeficiente de atrito cinético da superfície muc, mostre que:
O tempo necessário para o bloco B alcançar o repouso novamente pode ser escrito como:
t=mA(1+varepsilon) vmuc g(mA+mB)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem dois blocos: o bloco A de massa vindo com velocidade inicial e o bloco B de massa parado. Eles colidem, obedecendo ao coeficiente de restituição . Depois da colisão, o bloco B desliza numa superfície com atrito cinético até parar.
Conteúdo: colisão unidimensional com restituição e depois movimento com atrito.
O que precisamos:
  1. Conservação de quantidade de movimento e definição de coeficiente de restituição pra achar a velocidade de B logo após a colisão.
  2. Aceleração de atrito para ver quanto tempo esse B leva pra parar.

Passo 2

Vamos achar a velocidade de mA,v + mBcdot 0 ;=; mA,vA' + mB,vB' imediatamente depois da colisão, que a gente chama de varepsilon = velocidade de separaçãovelocidade de aproximação = vB' - vA'v - 0 .
  1. Conservação de quantidade de movimento antes/depois:
  1. Coeficiente de restituição em colisão unidimensional:
çãçã
Com essas duas equações a gente resolve para .

Passo 3

Fazendo as contas (sem pular etapas):
Da conservação de momento:
mA,v = mA,vA' + mB,vB' (1)
Da restituição:
vB' - vA' = varepsilon,v (2)
Isolando vA' = vB' - varepsilon,v de (2):
mA,v = mA,(vB' - varepsilon v) + mB,vB' = mA,vB' - mA,varepsilon v + mB,vB'
Substituo em (1):
mA,v + mA,varepsilon v = (mA + mB),vB' Longrightarrow vB' = mA,(1+varepsilon),vmA + mB
Agrupo :

Passo 4

Agora o bloco B, com velocidade inicial a = -FatmB = -muc,g , desliza até parar por causa do atrito. A força de atrito é v!f = vB' + a,t Longrightarrow 0 = vB' - muc,g,t, , sempre contrária ao movimento.
Aceleração (constante) de desaceleração:
t = vB'muc,g
Sabendo que a velocidade final é zero, e usando
a gente isola :

Passo 5

Substitui o que achamos para t = mA,(1+varepsilon),vmA + mBmuc,g = mA,(1+varepsilon),vmuc,g,l(mA + mBr) :

Resposta

t = mA,(1+varepsilon),vmuc,g,l(mA+mBr)

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