Um bloco de massa m está preso a uma mola com constante elástica k e se move sobre uma superfície horizontal com atrito viscoso. Sabendo que:
i) A força de atrito tem sinal oposto é proporcional à velocidade do bloco, F_{\text {atrito }}= -b v(t), sendo b é o coeficiente de atrito viscoso e v(t)=\frac{d x(t)}{d t}, é a velocidade do bloco em funçāo do tempo, t e ii) A força restauradora da mola, que é proporcional ao deslocamento, x(t) e tem sentido contrário à posição do bloco, F_{\text {mola }}=-k x(t), pede-se:
a) O Diagrama de Forças atuando no bloco e a expressāo para a força resultante.
b) A Equaçāo Diferencial Ordinária de segunda ordem associada à posição, x(t), utilizando a Segunda Lei de Newton, F_{\text {resultante }}=m a(t), na qual a(t)=d^{2} x(t) / d t^{2}.
c) A soluçāo geral da EDO do item anterior no caso em que o atrito é ínfimo, m=0,02 \mathrm{~kg} , k=0,08 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e que o bloco é puxado para uma posiçāo x_{0} e solto a partir do repouso, ou seja, x(0)=x_{0} e v(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede três coisas bem separadas:
  • (a) Desenhar o diagrama de forças que atuam no bloco e escrever a expressão da força resultante (em função de x(t) e v(t)).
  • (b) Obter a equação diferencial ordinária de segunda ordem para x(t) usando a Segunda Lei de Newton.
  • (c) Resolver essa EDO no caso em que o atrito é ínfimo, com m=0,02\\ \text{kg}, k=0,08\\ \text{N/m}, e condições iniciais x(0)=x_0 e v(0)=0.
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo tirado do enunciado):
  • A força de atrito viscoso é \displaystyle F_{\text{atrito}} = -b\,v(t), com v(t)=\dfrac{d x(t)}{d t} e b o coeficiente de atrito viscoso. O sinal “-” indica que a força é oposta à velocidade.
  • A força restauradora da mola é \displaystyle F_{\text{mola}} = -k\,x(t).
  • O bloco desloca-se sobre uma superfície horizontal. Portanto existem também o peso e a reação normal (verticais) que se anulam entre si no eixo horizontal.
  • Vou adotar a convenção de que x(t)>0 para deslocamento para a direita; forças para a esquerda terão sinal negativo.

Passo 2

Diagrama de forças (descrição verbal e matemática):
  • Peso e reação normal: \displaystyle \vec{P}= -m g\,\hat{j} e \displaystyle \vec{N}=+m g\,\hat{j}. Essas duas forças agem verticalmente e se anulam porque o movimento é horizontal; não entram na equação do movimento horizontal.
  • Força da mola (horizontal, sempre apontando para a origem/oposição ao deslocamento): \displaystyle \vec{F}_{\text{mola}} = -k\,x(t)\,\hat{i}. Esto vem da lei de Hooke: a mola puxa na direção oposta ao deslocamento.
  • Força de atrito viscoso (horizontal, sempre oposta à velocidade): \displaystyle \vec{F}_{\text{atrito}} = -b\,v(t)\,\hat{i} = -b\,x'(t)\,\hat{i}.
Expressão para a força resultante na direção horizontal (somando forças horizontais):
\vec{F}_{\text{resultante}} = \vec{F}_{\text{mola}} + \vec{F}_{\text{atrito}} = \bigl(-k\,x(t) - b\,x'(t)\bigr)\,\hat{i}.
Se quiser apenas o módulo com sinal (projeção em \hat{i}):
F_{\text{resultante}}(t) = -k\,x(t) - b\,x'(t).

Passo 3

Montagem da EDO usando a Segunda Lei de Newton:
  • A Segunda Lei na direção horizontal diz \displaystyle F_{\text{resultante}} = m\,a(t), e a aceleração é a(t)=x''(t)=\dfrac{d^2 x(t)}{dt^2}.
  • Substituindo F_{\text{resultante}}(t) = -k x(t) - b x'(t), obtemos
m\,x''(t) = -b\,x'(t) - k\,x(t).
  • Colocando em forma padrão:
\boxed{\;m\,x''(t) + b\,x'(t) + k\,x(t) = 0\;}.
Comentários didáticos: esta é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O termo b\,x'(t) representa dissipação (amortecimento); se b=0 temos o oscilador harmônico simples sem amortecimento.

Passo 4

Método para resolver a EDO homogênea com coeficientes constantes (resumo didático):
  • Procuramos soluções do tipo x(t)=e^{r t}. Substituindo na EDO obtemos a equação característica
m\,r^{2} + b\,r + k = 0.
  • As raízes r dessa quadrática determinam o comportamento:
    • Se delta >0 (duas raízes reais negativas): amortecimento supercrítico (sem oscilações).
    • Se delta =0: amortecimento crítico.
    • Se delta <0: raízes complexas conjugadas r = \alpha \pm i \omega_d e a solução é um decaimento exponencial multiplicando funções trigonométricas (amortecimento subcrítico, oscilações amortecidas).
  • No caso especial b=0, a equação característica é m r^2 + k = 0, com raízes puramente imaginárias r = \pm i\omega onde
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}},
e a solução geral é
x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).

Passo 5

Aplicação ao item (c): atrito ínfimo (ou desprezível), b\approx 0, e valores numéricos dados.
  • Com b\approx 0 a EDO vira
m\,x''(t) + k\,x(t) = 0.
  • A frequência angular do movimento é
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.
  • Substituindo os valores numéricos m=0,02\\ \text{kg} e k=0,08\\ \text{N/m}:
\omega = \sqrt{\dfrac{0,08}{0,02}} = \sqrt{4} = 2\\ \text{rad/s}.
  • A solução geral sem amortecimento é
x(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t).
  • Aplicando as condições iniciais: x(0)=x_0 e v(0)=x'(0)=0.
    • x(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A A=x_0.
    • x'(t) = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t). Então x'(0) = 2B = 0 B=0.
  • Portanto a solução particular com essas condições é
\boxed{\;x(t) = x_0\cos(2t)\; }.
  • Velocidade correspondente (útil para prova):
v(t)=x'(t) = -2x_0\sin(2t).
  • Período e frequência (para intuir o movimento):
    • Período T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\\ \text{s}.
    • Frequência f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{\pi}\\ \text{Hz} \approx 0,318\\ \text{Hz}.

Resposta

(a) Forças: \displaystyle \vec{F}_{\text{mola}}=-k\,x(t)\,\hat{i},\quad \vec{F}_{\text{atrito}}=-b\,x'(t)\,\hat{i}. Resultado: \displaystyle F_{\text{resultante}}(t)=-k\,x(t)-b\,x'(t).
(b) Equação diferencial: \displaystyle m\,x''(t)+b\,x'(t)+k\,x(t)=0.
(c) Para b\approx0, m=0,02\\ \text{kg}, k=0,08\\ \text{N/m} e x(0)=x_0,\\ v(0)=0: \displaystyle x(t)=x_0\cos(2t).

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