Um bloco de massa
está preso a uma mola com constante elástica
e se move sobre uma superfície horizontal com atrito viscoso. Sabendo que:
i) A força de atrito tem sinal oposto é proporcional à velocidade do bloco,
, sendo
é o coeficiente de atrito viscoso e
, é a velocidade do bloco em funçāo do tempo,
e ii) A força restauradora da mola, que é proporcional ao deslocamento,
e tem sentido contrário à posição do bloco,
, pede-se:
a) O Diagrama de Forças atuando no bloco e a expressāo para a força resultante.
b) A Equaçāo Diferencial Ordinária de segunda ordem associada à posição,
, utilizando a Segunda Lei de Newton,
, na qual
.
c) A soluçāo geral da EDO do item anterior no caso em que o atrito é ínfimo,
,
e que o bloco é puxado para uma posiçāo
e solto a partir do repouso, ou seja,
e
.
i) A força de atrito tem sinal oposto é proporcional à velocidade do bloco,
a) O Diagrama de Forças atuando no bloco e a expressāo para a força resultante.
b) A Equaçāo Diferencial Ordinária de segunda ordem associada à posição,
c) A soluçāo geral da EDO do item anterior no caso em que o atrito é ínfimo,
Passo 1
O enunciado pede três coisas bem separadas:
- (a) Desenhar o diagrama de forças que atuam no bloco e escrever a expressão da força resultante (em função de
e ). - (b) Obter a equação diferencial ordinária de segunda ordem para
usando a Segunda Lei de Newton. - (c) Resolver essa EDO no caso em que o atrito é ínfimo, com
, , e condições iniciais e .
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo tirado do enunciado):
- A força de atrito viscoso é
, com e o coeficiente de atrito viscoso. O sinal “-” indica que a força é oposta à velocidade. - A força restauradora da mola é
. - O bloco desloca-se sobre uma superfície horizontal. Portanto existem também o peso e a reação normal (verticais) que se anulam entre si no eixo horizontal.
- Vou adotar a convenção de que
para deslocamento para a direita; forças para a esquerda terão sinal negativo.
Passo 2
Diagrama de forças (descrição verbal e matemática):
- Peso e reação normal:
e . Essas duas forças agem verticalmente e se anulam porque o movimento é horizontal; não entram na equação do movimento horizontal. - Força da mola (horizontal, sempre apontando para a origem/oposição ao deslocamento):
Esto vem da lei de Hooke: a mola puxa na direção oposta ao deslocamento. - Força de atrito viscoso (horizontal, sempre oposta à velocidade):
Expressão para a força resultante na direção horizontal (somando forças horizontais):
Se quiser apenas o módulo com sinal (projeção em
):
Passo 3
Montagem da EDO usando a Segunda Lei de Newton:
- A Segunda Lei na direção horizontal diz
, e a aceleração é . - Substituindo
, obtemos
- Colocando em forma padrão:
Comentários didáticos: esta é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O termo
representa dissipação (amortecimento); se
temos o oscilador harmônico simples sem amortecimento.
Passo 4
Método para resolver a EDO homogênea com coeficientes constantes (resumo didático):
- Procuramos soluções do tipo
. Substituindo na EDO obtemos a equação característica
- As raízes
dessa quadrática determinam o comportamento: - Se delta
(duas raízes reais negativas): amortecimento supercrítico (sem oscilações). - Se delta
: amortecimento crítico. - Se delta
: raízes complexas conjugadas e a solução é um decaimento exponencial multiplicando funções trigonométricas (amortecimento subcrítico, oscilações amortecidas).
- Se delta
- No caso especial
, a equação característica é , com raízes puramente imaginárias onde
e a solução geral é
Passo 5
Aplicação ao item (c): atrito ínfimo (ou desprezível),
, e valores numéricos dados.
- Com
a EDO vira
- A frequência angular do movimento é
- Substituindo os valores numéricos
e :
- A solução geral sem amortecimento é
- Aplicando as condições iniciais:
e . -
dá . -
. Então dá .
-
- Portanto a solução particular com essas condições é
- Velocidade correspondente (útil para prova):
- Período e frequência (para intuir o movimento):
- Período
- Frequência
- Período
Resposta
(a) Forças:
. Resultado:
(b) Equação diferencial:
(c) Para ,
,
e
:
(b) Equação diferencial:
(c) Para