1.131 Encontre: (a) o componente vetorial de \mathbf{F}=10 \mathbf{a}_{2}-6 \mathbf{a}_{4}+5 \mathbf{a}_{1} que é paralelo a \mathbf{G}=0,1 \mathbf{a}_{\varepsilon}+0,2 \mathbf{a}_{5}+0,3 \mathbf{a}_{5} (b) o componente vetorial de \mathbf{F} que é perpendicular a \mathbf{G}; (c) o componente vetorial de \mathbf{G} que é perpendicular a \mathbf{F}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) o componente de \mathbf{F} que é paralelo a \mathbf{G};
(b) o componente de \mathbf{F} que é perpendicular a \mathbf{G};
(c) o componente de \mathbf{G} que é perpendicular a \mathbf{F}.
As informações dadas (copiadas do enunciado) são:
  • \mathbf{F}=10\,\mathbf{a}_{2}-6\,\mathbf{a}_{4}+5\,\mathbf{a}_{1}.
  • \mathbf{G}=0,1\,\mathbf{a}_{\varepsilon}+0,2\,\mathbf{a}_{5}+0,3\,\mathbf{a}_{5}.
Observação importante sobre o enunciado: a expressão de \mathbf{G} contém uma provável inconsistência/erro de escrita (índices repetidos e um índice estranho \varepsilon). Não posso perguntar nada, então vou assumir a interpretação mais natural e comum para exercícios desse tipo: que os vetores base são \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3,\mathbf{a}_4,\dots e que o autor queria escrever
\mathbf{G}=0,1\,\mathbf{a}_1+0,2\,\mathbf{a}_2+0,3\,\mathbf{a}_3.
Também vou assumir que os vetores \{\mathbf{a}_i\} formam uma base ortonormal (ou seja, \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{a}_j=0 para i\neq j e \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{a}_i=1), que é o contexto típico desses exercícios. Com essas duas hipóteses (que já explicitei), prossigo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Representação em coordenadas: se a base é ortonormal, um vetor \mathbf{V} escrito como \mathbf{V}=V_1\mathbf{a}_1+V_2\mathbf{a}_2+\cdots tem coordenadas V_1,V_2,\dots.
  • Produto escalar (dot product): para vetores em coordenadas em base ortonormal,
\mathbf{U}\cdot\mathbf{V}=U_1V_1+U_2V_2+\cdots.
O produto escalar é a ferramenta que nos permite medir “quanto um vetor aponta na direção do outro”.
  • Projeção (componente paralela): a componente de \mathbf{F} paralela a \mathbf{G} é a projeção de \mathbf{F} sobre \mathbf{G}, dada por
\operatorname{proj}_{\mathbf{G}}\mathbf{F}=\frac{\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}}{\mathbf{G}\cdot\mathbf{G}}\,\mathbf{G}.
Aqui \mathbf{F}\cdot\mathbf{G} é um número (escalar) e \mathbf{G}\cdot\mathbf{G} é o quadrado da norma de \mathbf{G}.
  • Componente perpendicular: a parte de \mathbf{F} perpendicular a \mathbf{G} é
\mathbf{F}_\perp=\mathbf{F}-\operatorname{proj}_{\mathbf{G}}\mathbf{F}.
  • Analogamente, a parte de \mathbf{G} perpendicular a \mathbf{F} é
\mathbf{G}_\perp=\mathbf{G}-\operatorname{proj}_{\mathbf{F}}\mathbf{G},\qquad \operatorname{proj}_{\mathbf{F}}\mathbf{G}=\frac{\mathbf{G}\cdot\mathbf{F}}{\mathbf{F}\cdot\mathbf{F}}\,\mathbf{F}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo usando as coordenadas assumidas:
\mathbf{F}=(5,\,10,\,0,\,-6,\dots),\qquad \mathbf{G}=(0,1,\,0,2,\,0,3,\,0,\dots)
onde escrevo só as coordenadas relevantes \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3,\mathbf{a}_4.

Passo 3

Calcular \mathbf{F}\cdot\mathbf{G} e \mathbf{G}\cdot\mathbf{G}.
Usando as coordenadas (lembrando que 0,1 significa 0{,}1, etc.):
\mathbf{F}\cdot\mathbf{G} =5\cdot 0,1 + 10\cdot 0,2 + 0\cdot 0,3 + (-6)\cdot 0 =0,5 + 2,0 = 2,5.
\mathbf{G}\cdot\mathbf{G} =0,1^{2}+0,2^{2}+0,3^{2} =0,01+0,04+0,09=0,14.

Passo 4

Calcular a projeção de \mathbf{F} sobre \mathbf{G}:
\operatorname{proj}_{\mathbf{G}}\mathbf{F} =\frac{\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}}{\mathbf{G}\cdot\mathbf{G}}\,\mathbf{G} =\frac{2,5}{0,14}\,\mathbf{G}.
Simplificando a fração \dfrac{2,5}{0,14}=\dfrac{5/2}{14/100}=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{100}{14}=\dfrac{125}{7}.
Portanto
\operatorname{proj}_{\mathbf{G}}\mathbf{F} =\frac{125}{7}\bigl(0,1\,\mathbf{a}_1+0,2\,\mathbf{a}_2+0,3\,\mathbf{a}_3\bigr).
Multiplicando coordenada a coordenada:
\operatorname{proj}_{\mathbf{G}}\mathbf{F} =\frac{25}{14}\,\mathbf{a}_1+\frac{25}{7}\,\mathbf{a}_2+\frac{75}{14}\,\mathbf{a}_3.
(é bom também ter as aproximações: \frac{25}{14}\approx 1{,}7857, \frac{25}{7}\approx 3{,}5714, \frac{75}{14}\approx 5{,}3571.)
Isso responde a letra (a): o componente paralelo de \mathbf{F} a \mathbf{G} é \displaystyle \frac{25}{14}\mathbf{a}_1+\frac{25}{7}\mathbf{a}_2+\frac{75}{14}\mathbf{a}_3.

Passo 5

Calcular a componente de \mathbf{F} perpendicular a \mathbf{G}:
\mathbf{F}_\perp=\mathbf{F}-\operatorname{proj}_{\mathbf{G}}\mathbf{F}.
Subtraindo coordenadas (usando denominador 14 para facilitar):
  • Componente em \mathbf{a}_1: 5-\dfrac{25}{14}=\dfrac{70}{14}-\dfrac{25}{14}=\dfrac{45}{14}.
  • Componente em \mathbf{a}_2: 10-\dfrac{25}{7}=10-\dfrac{50}{14}=\dfrac{140}{14}-\dfrac{50}{14}=\dfrac{90}{14}=\dfrac{45}{7}.
  • Componente em \mathbf{a}_3: 0-\dfrac{75}{14}=-\dfrac{75}{14}.
  • Componente em \mathbf{a}_4: -6-0=-6.
Logo
\mathbf{F}_\perp=\frac{45}{14}\,\mathbf{a}_1+\frac{45}{7}\,\mathbf{a}_2-\frac{75}{14}\,\mathbf{a}_3-6\,\mathbf{a}_4.
(Em decimais: \mathbf{F}_\perp\approx 3{,}2143\,\mathbf{a}_1+6{,}4286\,\mathbf{a}_2-5{,}3571\,\mathbf{a}_3-6\,\mathbf{a}_4.)
Isso responde a letra (b).

Passo 6

Agora a componente de \mathbf{G} perpendicular a \mathbf{F}. Primeiro calculamos \mathbf{F}\cdot\mathbf{F}:
\mathbf{F}\cdot\mathbf{F}=5^{2}+10^{2}+0^{2}+(-6)^{2}=25+100+36=161.
A projeção de \mathbf{G} sobre \mathbf{F} é
\operatorname{proj}_{\mathbf{F}}\mathbf{G} =\frac{\mathbf{G}\cdot\mathbf{F}}{\mathbf{F}\cdot\mathbf{F}}\,\mathbf{F} =\frac{2,5}{161}\,\mathbf{F}.
Escrevendo o escalar como fração: \dfrac{2,5}{161}=\dfrac{5}{322}. Multiplicando \mathbf{F} por esse fator:
\operatorname{proj}_{\mathbf{F}}\mathbf{G} =\frac{5}{322}\bigl(5\,\mathbf{a}_1+10\,\mathbf{a}_2+0\,\mathbf{a}_3-6\,\mathbf{a}_4\bigr) =\frac{25}{322}\,\mathbf{a}_1+\frac{50}{322}\,\mathbf{a}_2-\frac{30}{322}\,\mathbf{a}_4.
Podemos simplificar alguns termos:
\operatorname{proj}_{\mathbf{F}}\mathbf{G} =\frac{25}{322}\,\mathbf{a}_1+\frac{25}{161}\,\mathbf{a}_2-\frac{15}{161}\,\mathbf{a}_4.

Passo 7

Finalmente, \mathbf{G} perpendicular a \mathbf{F} é
\mathbf{G}_\perp=\mathbf{G}-\operatorname{proj}_{\mathbf{F}}\mathbf{G}.
Subtraindo coordenadas (uso frações exatas):
  • Componente em \mathbf{a}_1: 0,1-\dfrac{25}{322}. Como 0,1=\dfrac{1}{10}=\dfrac{161}{1610} e \dfrac{25}{322}=\dfrac{125}{1610}, a diferença é \dfrac{36}{1610}=\dfrac{18}{805}.
  • Componente em \mathbf{a}_2: 0,2-\dfrac{25}{161}. Como 0,2=\dfrac{1}{5}=\dfrac{161}{805} e \dfrac{25}{161}=\dfrac{125}{805}, a diferença é \dfrac{36}{805}.
  • Componente em \mathbf{a}_3: 0,3-0=\dfrac{3}{10}.
  • Componente em \mathbf{a}_4: 0-(-\dfrac{15}{161})=\dfrac{15}{161}.
Portanto
\mathbf{G}_\perp=\frac{18}{805}\,\mathbf{a}_1+\frac{36}{805}\,\mathbf{a}_2+\frac{3}{10}\,\mathbf{a}_3+\frac{15}{161}\,\mathbf{a}_4.
(Em aproximações decimais: \mathbf{G}_\perp\approx 0{,}02236\,\mathbf{a}_1+0{,}04472\,\mathbf{a}_2+0{,}3\,\mathbf{a}_3+0{,}09317\,\mathbf{a}_4.)
Pequena verificação conceitual rápida (não exige conta pesada): \operatorname{proj}_{\mathbf{G}}\mathbf{F} é paralelo a \mathbf{G}, logo ortogonal a \mathbf{F}_\perp; assim \mathbf{F}_\perp\cdot\mathbf{G}=0. Isso confirma a consistência das componentes encontradas.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{25}{14}\,\mathbf{a}_1+\frac{25}{7}\,\mathbf{a}_2+\frac{75}{14}\,\mathbf{a}_3
(b) \displaystyle \frac{45}{14}\,\mathbf{a}_1+\frac{45}{7}\,\mathbf{a}_2-\frac{75}{14}\,\mathbf{a}_3-6\,\mathbf{a}_4
(c) \displaystyle \frac{18}{805}\,\mathbf{a}_1+\frac{36}{805}\,\mathbf{a}_2+\frac{3}{10}\,\mathbf{a}_3+\frac{15}{161}\,\mathbf{a}_4

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