1.131 Encontre: (a) o componente vetorial de
que é paralelo a
(b) o componente vetorial de
que é perpendicular a
; (c) o componente vetorial de
que é perpendicular a
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) o componente de que é paralelo a
;
(b) o componente de que é perpendicular a
;
(c) o componente de que é perpendicular a
.
(a) o componente de
(b) o componente de
(c) o componente de
As informações dadas (copiadas do enunciado) são:
Observação importante sobre o enunciado: a expressão de
contém uma provável inconsistência/erro de escrita (índices repetidos e um índice estranho
). Não posso perguntar nada, então vou assumir a interpretação mais natural e comum para exercícios desse tipo: que os vetores base são
e que o autor queria escrever
Também vou assumir que os vetores
formam uma base ortonormal (ou seja,
para
e
), que é o contexto típico desses exercícios. Com essas duas hipóteses (que já explicitei), prossigo.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
- Representação em coordenadas: se a base é ortonormal, um vetor
escrito como tem coordenadas . - Produto escalar (dot product): para vetores em coordenadas em base ortonormal,
O produto escalar é a ferramenta que nos permite medir “quanto um vetor aponta na direção do outro”.
- Projeção (componente paralela): a componente de
paralela a é a projeção de sobre , dada por
Aqui
é um número (escalar) e
é o quadrado da norma de
.
- Componente perpendicular: a parte de
perpendicular a é
- Analogamente, a parte de
perpendicular a é
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo usando as coordenadas assumidas:
onde escrevo só as coordenadas relevantes
.
Passo 3
Calcular
e
.
Usando as coordenadas (lembrando que
significa
, etc.):
Passo 4
Calcular a projeção de
sobre
:
Simplificando a fração
.
Portanto
Multiplicando coordenada a coordenada:
(é bom também ter as aproximações:
,
,
.)
Isso responde a letra (a): o componente paralelo de
a
é
.
Passo 5
Calcular a componente de
perpendicular a
:
Subtraindo coordenadas (usando denominador
para facilitar):
- Componente em
: - Componente em
: - Componente em
: - Componente em
:
Logo
(Em decimais:
.)
Isso responde a letra (b).
Passo 6
Agora a componente de
perpendicular a
. Primeiro calculamos
:
A projeção de
sobre
é
Escrevendo o escalar como fração:
. Multiplicando
por esse fator:
Podemos simplificar alguns termos:
Passo 7
Finalmente,
perpendicular a
é
Subtraindo coordenadas (uso frações exatas):
- Componente em
: . Como e , a diferença é - Componente em
: . Como e , a diferença é - Componente em
: - Componente em
:
Portanto
(Em aproximações decimais:
.)
Pequena verificação conceitual rápida (não exige conta pesada):
é paralelo a
, logo ortogonal a
; assim
. Isso confirma a consistência das componentes encontradas.
Resposta
(a)
(b)
(c)