3. (4 Pontos) Equações de Primeira Ordem,

(1.25) a) Sendo y \neq 0 classifique (número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes) e resolva a equaçāo abaixo. Além disso, represente graficamente a família de soluçōes.
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y} .
Indique, no gráfico a solução do problema de valor inicial composto pela equação anterior e a condição y(4)=3.
b) classifique (número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes) e resolva as equações abaixo
\text { (1.25) i) } y^{\prime}(t)=\frac{y^{3}-6 t y}{4+3 t^{2}-3 t y^{2}} \text {. (1.5) ii) } y^{\prime}(t)-\operatorname{tg}(t) y(t)=\cos (t) \text {. }

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado pede e as informações fornecidas.
  • Pergunta (a): para a equação
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y},
com a condição y\neq 0,
  1. classificar (número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes);
  2. resolver a equação (família geral de soluções);
  3. representar graficamente a família de soluções e, no gráfico, indicar a solução do problema de valor inicial (PVI) com y(4)=3.
  • Pergunta (b): para as duas equações
\text{(i)}\quad y^{\prime}(t)=\frac{y^{3}-6 t y}{4+3 t^{2}-3 t y^{2}}, \qquad \text{(ii)}\quad y^{\prime}(t)-\tan(t)\,y(t)=\cos(t),
para cada uma é pedido: classificar (número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes) e resolver.
Informações úteis dadas pelo enunciado: as equações são de primeira ordem (derivada primeira aparece) e as variáveis independentes são x no item (a) e t nos itens (b). Não há outras condições além de y\neq 0 em (a) e o PVI y(4)=3.

Passo 2

Resolver (a): classificação e método.
Primeiro, classificar a equação
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y}.
  • Número de variáveis independentes: uma (a variável independente é x, dependente é y(x)).
  • Ordem: primeira ordem (aparece somente \dfrac{d y}{d x}).
  • Linearidade: não é linear em y, porque a equação tem y no denominador; a forma linear padrão é \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x), e aqui não se encaixa.
  • Homogeneidade (no sentido de equações de primeira ordem do tipo y' = f(x,y) com f(tx,ty)=f(x,y)): a função f(x,y)=\dfrac{x}{y} satisfaz f(\lambda x,\lambda y)=\frac{\lambda x}{\lambda y}=\frac{x}{y}=f(x,y),logo é uma função homogênea de grau 0. Isso indica que a substituição y=vx ou o método das variáveis separáveis/potências pode ser usado. Também se nota que a equação é separável (é a forma clássica para separar y e x).
  • Coeficientes: não é linear, então não há “coeficientes lineares” no sentido usual; porém a função direita \dfrac{x}{y} é contínua para y\neq 0, portanto nas regiões onde y\neq 0 a expressão é bem definida.
Método escolhido e justificativa: escolher separação de variáveis (método simples e direto). Explico rapidamente o método: se a equação pode ser escrita como g(y)\,dy = h(x)\,dx, integra-se ambos os lados para obter relação entre x e y.
Agora aplico separação de variáveis. Parto de
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}.
Multiplico ambos os lados por y\,dx (válido quando y\neq 0):
y\,dy = x\,dx.
Integro ambos os lados:
\int y\,dy = \int x\,dx.
Calculo as integrais:
\frac{1}{2}y^{2} = \frac{1}{2}x^{2} + C,
onde C é constante de integração. Multiplico por 2 e chamo C_1=2C:
y^{2} = x^{2} + C_1.
Tomando raiz quadrada (lembrando de incluir as duas possibilidades de sinal):
y(x) = \pm\sqrt{x^{2} + C_1}.
Esta é a família geral de soluções implícita/ explícita. Observações importantes:
  • A constante C_1 pode ser qualquer número real; cada valor determina uma curva no plano xy.
  • A condição y\neq 0 proíbe as soluções que façam y=0 em pontos onde a equação original seria indefinida; ao escolher a constante e o ramo (+) ou (-) deve-se respeitar a continuidade/ domínio.

Passo 3

Análise geométrica da família e solução do PVI y(4)=3.
A família y^{2}-x^{2}=C_1 pode ser reescrita como
y^{2}-x^{2}=C_1,
que é a família de hipérboles (conjugadas) com eixos ao longo de x e y. Para intuir o formato:
  • Se C_1>0 as curvas têm duas folhas, uma com y>0 e outra com y<0, cada folha é como uma hipérbole aberta verticalmente; assim que |x| cresce, y\approx \pm|x| (assimptotas y=\pm x).
  • Se C_1=0, tem as retas y=\pm x.
  • Se C_1<0, também são hipérboles mas que só existem onde x^{2}\ge -C_1.
Comportamento assintótico: para |x|\to\infty,
\sqrt{x^{2}+C_1} = |x|\sqrt{1+\frac{C_1}{x^{2}}}\approx |x|\Big(1+\frac{C_1}{2x^{2}}\Big)\approx |x|+\frac{C_1}{2|x|},
portanto as curvas aproximam-se das retas y=\pm x.
Agora aplico o PVI y(4)=3. Substituo x=4,\\ y=3 na relação y^{2}=x^{2}+C_1:
3^{2}=4^{2}+C_1 \quad\Rightarrow\quad 9=16+C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1=-7.
Logo a solução particular é
y^{2}=x^{2}-7,\qquad y(x)=\pm\sqrt{x^{2}-7}.
Como a condição impõe y(4)=3>0, escolhemos o ramo positivo. Assim a solução do PVI é
y(x)=\sqrt{x^{2}-7}.
Domínio desta solução: requer x^{2}-7\ge 0, isto é |x|\ge \sqrt{7}\approx 2,6458. O ponto x=4 está no domínio; a solução é contínua e diferenciável neste intervalo (por exemplo em (\sqrt7,\infty)).
No gráfico:
  • A família geral são hipérboles y=\pm\sqrt{x^{2}+C_1} deslocadas conforme C_1.
  • A solução do PVI y(4)=3 é a curva y=\sqrt{x^{2}-7} (folha positiva da hipérbole com C_1=-7), passando pelo ponto (4,3).

Passo 4

Resolver (b) item (i): classificação e solução.
Equação (i):
y^{\prime}(t)=\frac{y^{3}-6 t y}{4+3 t^{2}-3 t y^{2}}.
Classificação:
  • Número de variáveis independentes: uma ( t é a variável independente, y(t) a dependente).
  • Ordem: primeira ordem.
  • Linearidade: não linear (aparecem y^{3} e y^{2}).
  • Homogeneidade: não é homogênea no sentido f(\lambda t,\lambda y)=f(t,y) de forma simples (os termos têm graus diferentes), portanto não é uma equação homogênea de primeiro grau nessa definição.
  • Coeficientes: os termos são polinômios em t e y, portanto funções contínuas para todos t,y; atenção a possíveis singularidades quando o denominador 4+3 t^{2}-3 t y^{2}=0 (esses pontos precisam ser evitados ou tratados separadamente).
Escolha do método: observo que a equação pode ser rearranjada como
\bigl(4+3 t^{2}-3 t y^{2}\bigr)\,dy - \bigl(y^{3}-6 t y\bigr)\,dt = 0.
Esta é uma forma diferencial M(t,y)\,dt + N(t,y)\,dy = 0 com
M(t,y) = -\bigl(y^{3}-6 t y\bigr) = -y^{3}+6 t y, \qquad N(t,y) = 4+3 t^{2}-3 t y^{2}.
Verifico a condição de exatidão: calcular \partial M/\partial y e \partial N/\partial t.
\frac{\partial M}{\partial y} = -3 y^{2} + 6 t, \qquad \frac{\partial N}{\partial t} = 6 t - 3 y^{2}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial t}, a equação é exata. Então existe uma função potencial \Phi(t,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t} = M(t,y), \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(t,y),
e a solução geral é \Phi(t,y)=C.
Construção de \Phi: integro M em relação a t (tratando y como constante):
\Phi(t,y)=\int M(t,y)\,dt = \int \bigl(-y^{3}+6 t y\bigr)\,dt = -y^{3}t + 3 t^{2}y + h(y),
onde h(y) é função achada a partir da condição sobre \partial \Phi/\partial y. Calculo \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -3 y^{2}t + 3 t^{2} + h'(y).
Comparo com N(t,y)=4+3 t^{2}-3 t y^{2}. Igualando:
-3 y^{2}t + 3 t^{2} + h'(y) = 4 + 3 t^{2} - 3 t y^{2}.
Cancelam os termos -3 y^{2}t e 3 t^{2}, sobrando h'(y)=4. Integro:
h(y)=4y + \text{const}.
Portanto a função potencial é
\Phi(t,y) = -t y^{3} + 3 t^{2}y + 4y.
A solução implícita geral é
\Phi(t,y)=C \quad\Longrightarrow\quad -t y^{3} + 3 t^{2}y + 4y = C,
ou, fatorando y,
y\bigl(-t y^{2} + 3 t^{2} + 4\bigr) = C.
Observações:
  • A solução implícita acima engloba a solução trivial y(t)\equiv 0 (quando C=0 e escolhemos a fator y=0).
  • Em geral, resolver explicitamente y em função de t exige resolver um polinômio cúbico; a solução implícita é suficiente como forma fechada aceitável.

Passo 5

Resolver (b) item (ii): classificação e solução.
Equação (ii):
y^{\prime}(t)-\tan(t)\,y(t)=\cos(t).
Classificação:
  • Número de variáveis independentes: uma ( t).
  • Ordem: primeira ordem.
  • Linearidade: linear em y; é da forma y'+p(t)y=q(t) com p(t)=-\tan(t) e q(t)=\cos(t).
  • Homogeneidade: não é homogênea (há termo não nulo q(t)), mas a equação homogênea associada é y'-\tan(t)y=0.
  • Coeficientes: p(t)=-\tan(t) é singular onde \cos(t)=0 (ou seja t=(2k+1)\pi/2); portanto a solução é considerada em intervalos onde \cos(t)\neq 0.
Método: método do fator integrante. Explico a ideia rapidamente: para
y' + p(t) y = q(t),
o fator integrante é
\mu(t)=\exp\Big(\int p(t)\,dt\Big),
pois multiplicando a equação por \mu(t) a esquerda passa a ser a derivada (\mu y)'.
Aqui p(t)=-\tan(t). Calculo o fator integrante:
\int p(t)\,dt = \int -\tan(t)\,dt = \int -\frac{\sin t}{\cos t}\,dt = \ln|\cos t| + \text{const},
portanto posso tomar
\mu(t)=\cos t
(qualquer constante multiplicativa em \mu pode ser absorvida na constante de integração final).
Multiplico a equação original por \mu(t)=\cos t:
\cos t\,y' - \cos t\tan t\,y = \cos t\cos t.
Como \cos t\tan t = \sin t, a esquerda é
\cos t\,y' - \sin t\,y = (\cos t\,y)'.
Logo
(\cos t\,y)' = \cos^{2}t.
Integro em t:
\cos t\,y = \int \cos^{2}t\,dt + C.
Calculo a integral usando a identidade \cos^{2}t = \tfrac{1+\cos 2t}{2}:
\int \cos^{2}t\,dt = \int \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt = \frac{t}{2} + \frac{1}{4}\sin 2t + \text{const}.
Portanto
\cos t\,y = \frac{t}{2} + \frac{1}{4}\sin 2t + C.
Dividindo por \cos t (em intervalos onde \cos t\neq 0):
y(t) = \frac{\dfrac{t}{2} + \dfrac{1}{4}\sin 2t + C}{\cos t}.
Podemos simplificar usando \sin 2t = 2\sin t\cos t:
\frac{1}{4}\sin 2t = \frac{1}{2}\sin t\cos t,
então
y(t) = \frac{t}{2}\operatorname{sec} t + \frac{1}{2}\sin t + C\operatorname{sec} t.
Ou agrupando os termos com \operatorname{sec} t:
y(t) = \left(\frac{t}{2}+C\right)\operatorname{sec} t + \frac{1}{2}\sin t,
o que é uma forma limpa da solução geral em intervalos onde \cos t\neq 0.

Resposta

(a) Classificação: uma variável independente ( x), ordem 1, não linear, função direita homogênea de grau 0 e separável; função direita contínua para y\neq 0.
Geral: \;y^{2}=x^{2}+C_1\;, isto é \;y=\pm\sqrt{x^{2}+C_1}.
PVI y(4)=3: \;y(x)=\sqrt{x^{2}-7} (domínio |x|\ge\sqrt7).
(b i) Classificação: uma variável independente ( t), ordem 1, não linear, não homogênea; coeficientes polinomiais (contínuos), possível singular quando 4+3t^{2}-3t y^{2}=0.
Solução (implícita): \;-t y^{3}+3 t^{2}y+4y=C (constante C), ou y\bigl(-t y^{2}+3 t^{2}+4\bigr)=C.
(b ii) Classificação: uma variável independente ( t), ordem 1, linear, não homogênea, coeficiente p(t)=-\tan t com singularidades onde \cos t=0.
Solução geral (em intervalos onde \cos t\neq 0):
y(t)=\frac{\tfrac{t}{2}+\tfrac{1}{4}\sin 2t + C}{\cos t} \quad\text{ou}\quad y(t)=\Big(\frac{t}{2}+C\Big)\operatorname{sec} t+\frac{1}{2}\sin t,
onde C é constante de integração.

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