3. (4 Pontos) Equações de Primeira Ordem,
(1.25) a) Sendo
classifique (número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes) e resolva a equaçāo abaixo. Além disso, represente graficamente a família de soluçōes.
Indique, no gráfico a solução do problema de valor inicial composto pela equação anterior e a condição
.
b) classifique (número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes) e resolva as equações abaixo
b) classifique (número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes) e resolva as equações abaixo
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado pede e as informações fornecidas.
- Pergunta (a): para a equação
com a condição
,
- classificar (número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes);
- resolver a equação (família geral de soluções);
- representar graficamente a família de soluções e, no gráfico, indicar a solução do problema de valor inicial (PVI) com
.
- Pergunta (b): para as duas equações
para cada uma é pedido: classificar (número de variáveis independentes, ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes) e resolver.
Informações úteis dadas pelo enunciado: as equações são de primeira ordem (derivada primeira aparece) e as variáveis independentes são
no item (a) e
nos itens (b). Não há outras condições além de
em (a) e o PVI
.
Passo 2
Resolver (a): classificação e método.
Primeiro, classificar a equação
- Número de variáveis independentes: uma (a variável independente é
, dependente é ). - Ordem: primeira ordem (aparece somente
). - Linearidade: não é linear em
, porque a equação tem no denominador; a forma linear padrão é , e aqui não se encaixa. - Homogeneidade (no sentido de equações de primeira ordem do tipo
com ): a função satisfaz logo é uma função homogênea de grau . Isso indica que a substituição ou o método das variáveis separáveis/potências pode ser usado. Também se nota que a equação é separável (é a forma clássica para separar e ). - Coeficientes: não é linear, então não há “coeficientes lineares” no sentido usual; porém a função direita
é contínua para , portanto nas regiões onde a expressão é bem definida.
Método escolhido e justificativa: escolher separação de variáveis (método simples e direto). Explico rapidamente o método: se a equação pode ser escrita como
, integra-se ambos os lados para obter relação entre
e
.
Agora aplico separação de variáveis. Parto de
Multiplico ambos os lados por
(válido quando
):
Integro ambos os lados:
Calculo as integrais:
onde
é constante de integração. Multiplico por
e chamo
:
Tomando raiz quadrada (lembrando de incluir as duas possibilidades de sinal):
Esta é a família geral de soluções implícita/ explícita. Observações importantes:
- A constante
pode ser qualquer número real; cada valor determina uma curva no plano . - A condição
proíbe as soluções que façam em pontos onde a equação original seria indefinida; ao escolher a constante e o ramo ou deve-se respeitar a continuidade/ domínio.
Passo 3
Análise geométrica da família e solução do PVI
.
A família
pode ser reescrita como
que é a família de hipérboles (conjugadas) com eixos ao longo de
e
. Para intuir o formato:
- Se
as curvas têm duas folhas, uma com e outra com , cada folha é como uma hipérbole aberta verticalmente; assim que cresce, (assimptotas ). - Se
, tem as retas . - Se
, também são hipérboles mas que só existem onde .
Comportamento assintótico: para
,
portanto as curvas aproximam-se das retas
.
Agora aplico o PVI
. Substituo
na relação
:
Logo a solução particular é
Como a condição impõe
, escolhemos o ramo positivo. Assim a solução do PVI é
Domínio desta solução: requer
, isto é
. O ponto
está no domínio; a solução é contínua e diferenciável neste intervalo (por exemplo em
).
No gráfico:
- A família geral são hipérboles
deslocadas conforme . - A solução do PVI
é a curva (folha positiva da hipérbole com ), passando pelo ponto .
Passo 4
Resolver (b) item (i): classificação e solução.
Equação (i):
Classificação:
- Número de variáveis independentes: uma (
é a variável independente, a dependente). - Ordem: primeira ordem.
- Linearidade: não linear (aparecem
e ). - Homogeneidade: não é homogênea no sentido
de forma simples (os termos têm graus diferentes), portanto não é uma equação homogênea de primeiro grau nessa definição. - Coeficientes: os termos são polinômios em
e , portanto funções contínuas para todos ; atenção a possíveis singularidades quando o denominador (esses pontos precisam ser evitados ou tratados separadamente).
Escolha do método: observo que a equação pode ser rearranjada como
Esta é uma forma diferencial
com
Verifico a condição de exatidão: calcular
e
.
Como
, a equação é exata. Então existe uma função potencial
tal que
e a solução geral é
.
Construção de
: integro
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é função achada a partir da condição sobre
. Calculo
:
Comparo com
. Igualando:
Cancelam os termos
e
, sobrando
. Integro:
Portanto a função potencial é
A solução implícita geral é
ou, fatorando
,
Observações:
- A solução implícita acima engloba a solução trivial
(quando e escolhemos a fator ). - Em geral, resolver explicitamente
em função de exige resolver um polinômio cúbico; a solução implícita é suficiente como forma fechada aceitável.
Passo 5
Resolver (b) item (ii): classificação e solução.
Equação (ii):
Classificação:
- Número de variáveis independentes: uma (
). - Ordem: primeira ordem.
- Linearidade: linear em
; é da forma com e . - Homogeneidade: não é homogênea (há termo não nulo
), mas a equação homogênea associada é . - Coeficientes:
é singular onde (ou seja ); portanto a solução é considerada em intervalos onde .
Método: método do fator integrante. Explico a ideia rapidamente: para
o fator integrante é
pois multiplicando a equação por
a esquerda passa a ser a derivada
.
Aqui
. Calculo o fator integrante:
portanto posso tomar
(qualquer constante multiplicativa em
pode ser absorvida na constante de integração final).
Multiplico a equação original por
:
Como
, a esquerda é
Logo
Integro em
:
Calculo a integral usando a identidade
:
Portanto
Dividindo por
(em intervalos onde
):
Podemos simplificar usando
:
então
Ou agrupando os termos com
:
o que é uma forma limpa da solução geral em intervalos onde
.
Resposta
(a) Classificação: uma variável independente (
), ordem
, não linear, função direita homogênea de grau
e separável; função direita contínua para
.
Geral: , isto é
.
PVI :
(domínio
).
Geral:
PVI
(b i) Classificação: uma variável independente (
), ordem
, não linear, não homogênea; coeficientes polinomiais (contínuos), possível singular quando
.
Solução (implícita): (constante
), ou
.
Solução (implícita):
(b ii) Classificação: uma variável independente (
), ordem
, linear, não homogênea, coeficiente
com singularidades onde
.
Solução geral (em intervalos onde ):
Solução geral (em intervalos onde
onde
é constante de integração.