Um bloco de massa
está sobre uma superfície horizontal sem atrito. Uma corda amarrada a esse bloco passa sobre uma polia de raio
e massa M e sua outra extremidade está presa a outro bloco suspenso com massa
(veja a Figura abaixo). Considere o momento de inércia da polia como sendo
e que
. Expresse os resultados em termos de
e da aceleração da gravidade
.
Qual é a aceleração do bloco de massa
?
Qual é a aceleração do bloco de massa
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois blocos ligados por uma corda que passa por uma polia. O bloco $ m_{1} $ está sobre uma superfície sem atrito, e o bloco $ m_{2} $ está pendurado. A polia tem massa e momento de inércia $ I = \frac{1}{2} M R^{2} $. Queremos descobrir qual é a aceleração do bloco $ m_{2} $. Para resolver isso, vamos usar as leis de Newton para movimento linear e rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada bloco e na polia. No bloco $ m_{1} $, a única força horizontal é a tensão $ T $ na corda. No bloco $ m_{2} $, temos a força gravitacional $ m_{2}g $ para baixo e a tensão $ T $ para cima. Na polia, a tensão da corda gera um torque que faz a polia girar.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para o bloco $ m_{1} $. Como não há atrito, a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
Passo 4
Para o bloco $ m_{2} $, a soma das forças também é igual à massa vezes a aceleração. Aqui, a força para baixo é maior, então:
Passo 5
Agora, vamos considerar a polia. O torque $ \tau $ é igual ao momento de inércia $ I $ multiplicado pela aceleração angular $ \alpha $:
Como $ \alpha = \frac{a}{R} $, temos:
Passo 6
Agora, temos duas equações com $ T $ e $ a $:
- $ T = m_{1} a $
- $ T = \frac{1}{2} M a $
Igualando as duas expressões para $ T $:
Isso implica que:
Para que a aceleração não seja zero, temos:
(Aqui percebo que houve um erro na abordagem. Vamos ajustar.)
Na verdade, precisamos solucionar as duas primeiras equações simultaneamente. Reescrevendo:
- $ T = m_{1} a $
- $ m_{2}g - T = m_{2} a $
Substituindo $ T $ da primeira equação na segunda:
Mas precisamos incluir a massa da polia. Ajustando a equação com a contribuição da polia:
A aceleração fica:
Resposta
A aceleração do bloco $ m_{2} $ é: