Um corpo de massa m=40 g está preso a uma mola de constante elástica k=100 N / m. Este sistema é colocado para oscilar e depois imerso num meio cujo coeficiente de atrito viscoso é rho=0,08 kg / s. Escreva a equação diferencial que descreve o movimento, explicitando os valores numéricos dos coeficientes (indicando suas unidades).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física envolvendo um corpo preso numa mola que está oscilando e depois é colocado num meio com atrito viscoso. O que precisamos fazer é escrever a equação diferencial que descreve esse movimento, usando os valores que foram dados.
Aqui, vamos trabalhar com mecânica vibracional, especificamente com movimentos oscilatórios amortecidos por um atrito viscoso. Para resolver isso, vamos precisar entender como a massa, a constante da mola e o coeficiente de atrito influenciam no movimento do corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação básica que descreve o movimento de um sistema massa-mola com atrito viscoso. Essa equação é uma equação diferencial de segunda ordem e pode ser escrita assim:
md^2xdt^2 + rho dxdt + kx = 0
Aqui:
  • $ m $ é a massa do corpo,
  • $ \rho $ é o coeficiente de atrito viscoso,
  • $ k $ é a constante elástica da mola,
  • $ x $ é a posição do corpo em função do tempo,
  • $ \frac{d2x}{dt2} $ é a aceleração,
  • $ \frac{dx}{dt} $ é a velocidade.
Essa equação balanço as forças que atuam no sistema: a força da mola que tenta puxar de volta o corpo para a posição de equilíbrio ($ kx m ç \rho \frac{dx}{dt} rho ç m\frac{d2x}{dt2} $).

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores numéricos que foram dados no problema nessa equação. Mas antes, precisamos garantir que todas as unidades estejam corretas.
  • A massa $ m $ é 40 g, que precisa ser convertida para quilogramas:
    m
  • A constante elástica da mola $ k $ já está em N/m:
    m = 40 , g = 0,04 , kg
  • O coeficiente de atrito viscoso $ \rho $ está em kg/s:
    k

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na equação diferencial:
0,04 d^2xdt^2 + 0,08 dxdt + 100x = 0
Aqui:
  • $ 0,04 $ multiplica a aceleração,
  • $ 0,08 $ multiplica a velocidade,
  • $ 100 $ multiplica a posição.
As unidades também fazem sentido:
  • $ \frac{d2x}{dt2} $ tem unidades de m/s²,
  • $ \frac{dx}{dt} $ tem unidades de m/s,
  • $ x $ tem unidades de m.

Resposta

A equação diferencial que descreve o movimento é:
0,04, d^2xdt^2 + 0,08, dxdt + 100, x = 0

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