Um bloco de \mathbf{0 , 1 0} \mathbf{~ k g} oscila para frente e para trás, ao longo de uma linha reta, numa superfície horizontal sem atrito. Seu deslocamento a partir da origem é dado por \quad x(t)=0,1 \cos (10 \mathrm{t}) m \quad. (a) Qual a frequência da oscilação? (b) Qual a velocidade máxima alcançada pelo bloco? Em que valor de \mathbf{x} isto acontece? (c) Qual a aceleração máxima do bloco? Em que valor de \mathbf{x} isto ocorre? (d) Qual é a força restauradora aplicada no bloco?
O enunciado descreve um bloco de massa m = 0,10~\mathrm{kg} que executa um movimento harmônico simples sem atrito, com deslocamento
x(t) = 0,1\cos\bigl(10\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.
O conteúdo aqui é movimento harmônico simples (MHS), onde precisamos usar as relações \omega (frequência angular), f (frequência), \displaystyle v_{\max}=A\omega, \displaystyle a_{\max}=A\omega^2 e F(x)=-m\omega^2x.
Passo 2
Da forma geral do MHS temos x(t)=A\cos(\omega t). Comparando com o dado, identificamos
A = 0,1~\mathrm{m},\quad \omega = 10~\mathrm{rad/s}.
A frequência f está relacionada a \omega por
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{2\pi}\approx1,6~\mathrm{Hz}.
Passo 3
A velocidade em MHS é v(t) = -A\,\omega\sin(\omega t), logo a velocidade máxima em módulo é
Esse valor ocorre quando \cos(\omega t)=\pm1, ou seja, em \lvert x\rvert = A = 0,1~\mathrm{m}.
Passo 5
A força restauradora é dada por
F(x) = m\,a = -m\,\omega^2\,x.
Como m=0,10~\mathrm{kg} e \omega^2=100~\mathrm{(rad/s)^2}, define-se a constante elástica
k = m\,\omega^2 = 0,10 \times 100 = 10~\mathrm{N/m},
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F(x) = -10\,x\quad(\mathrm{N}).
Resposta
a) f = 1,6~\mathrm{Hz}
b) \bigl|v_{\max}\bigr| = 1,0~\mathrm{m/s}, em x=0
c) \bigl|a_{\max}\bigr| = 10~\mathrm{m/s^2}, em \lvert x\rvert = 0,10~\mathrm{m}
d) F(x) = -10\,x (N)