Essa questão se refere ao modelo atômico de Bohr e as energias serão expressas em termos do fator m e^{4} /\left(\varepsilon_{0}^{2} h^{2}\right).
Nos itens abaixo considere a situação de um fóton incidindo sobre um átomo de hidrogênio e interagindo com seu elétron no estado fundamental.
Supondo que a energia do fóton seja dada exatamente por (1 / 9) \mathrm{me}^{4} /\left(\varepsilon_{0}{ }^{2} h^{2}\right), marque a resposta que melhor represente o que pode acontecer ao átomo de hidrogênio.
a. Vai para n=2.
b. Vai para n=3.
c. Vai para n=4.
d. Vai para n=5.
e. Não absorve o fóton.
f. É ionizado.
g. Nada disso pode acontecer.

Passo 1

O enunciado trata de um fóton com energia \tfrac{1}{9}\,m e^{4}/(\varepsilon_{0}^{2}h^{2}) incidindo num átomo de hidrogênio no estado fundamental. Vamos usar o modelo de Bohr para ver para qual nível quântico n — se houver — esse fóton pode promover o elétron, ou se ele não é absorvido ou chega a ionizar o átomo.

Passo 2

No modelo de Bohr, a energia do nível n é dada por
E_{n} = -\,\frac{m e^{4}}{8\,\varepsilon_{0}^{2}h^{2}}\;\frac{1}{n^{2}}.
Note que estamos expressando tudo em unidades de m e^{4}/(\varepsilon_{0}^{2}h^{2}).
Em particular, para o nível fundamental n=1 temos
E_{1} = -\,\frac{1}{8}\,\frac{m e^{4}}{\varepsilon_{0}^{2}h^{2}}
e, para um nível geral n,
E_{n} = -\,\frac{1}{8\,n^{2}}\,\frac{m e^{4}}{\varepsilon_{0}^{2}h^{2}}.

Passo 3

A condição de absorção é que a energia do fóton case com a diferença
\Delta E_{1\to n} = E_{n} - E_{1} = -\frac{1}{8\,n^{2}}\;+\;\frac{1}{8} = \frac{1}{8}\Bigl(1 - \frac{1}{n^{2}}\Bigr)
em unidades de m e^{4}/(\varepsilon_{0}^{2}h^{2}).

Passo 4

Vamos calcular \Delta E_{1\to n} para n=2,3,4,5:
\Delta E_{1\to 2} = \frac{1}{8}\Bigl(1-\tfrac{1}{4}\Bigr)=\frac{3}{32}\approx0{,}09375,
\Delta E_{1\to 3} = \frac{1}{8}\Bigl(1-\tfrac{1}{9}\Bigr)=\frac{1}{9}\approx0{,}11111,
\Delta E_{1\to 4} = \frac{1}{8}\Bigl(1-\tfrac{1}{16}\Bigr)=\frac{15}{128}\approx0{,}11719,
\Delta E_{1\to 5} = \frac{1}{8}\Bigl(1-\tfrac{1}{25}\Bigr)=\frac{24}{200}\times\frac{1}{8}=\frac{3}{25}\approx0{,}12.

Passo 5

A energia do fóton é \tfrac{1}{9}\approx0{,}11111 unidades, que bate exatamente com \Delta E_{1\to 3}. Como \tfrac{1}{9}<\tfrac{1}{8}, não chega a ionizar (ionização exigiria energia de \tfrac{1}{8}\approx0{,}125) e também não coincide com as outras transições. Portanto, o átomo vai para n=3.

Resposta

b. Vai para n=3.

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