Um bloco de
oscila para frente e para trás, ao longo de uma linha reta, numa superfície horizontal sem atrito. Seu deslocamento a partir da origem é dado por
. (a) Qual a frequência da oscilação? (b) Qual a velocidade máxima alcançada pelo bloco? Em que valor de
isto acontece? (c) Qual a aceleração máxima do bloco? Em que valor de
isto ocorre? (d) Qual é a força restauradora aplicada no bloco?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
- Massa do bloco:
. - Deslocamento como função do tempo:
.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual a frequência da oscilação?
(b) Qual a velocidade máxima alcançada pelo bloco? Em que valor de isso acontece?
(c) Qual a aceleração máxima do bloco? Em que valor de isso ocorre?
(d) Qual é a força restauradora aplicada no bloco?
(a) Qual a frequência da oscilação?
(b) Qual a velocidade máxima alcançada pelo bloco? Em que valor de
(c) Qual a aceleração máxima do bloco? Em que valor de
(d) Qual é a força restauradora aplicada no bloco?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas do movimento harmônico simples (MHS) e o significado das grandezas (explicação didática, passo a passo):
- A forma geral para MHS é
, onde: -
é a amplitude (máximo deslocamento a partir da origem), em metros; -
é a frequência angular, em ; -
é a fase inicial, em radianos.
-
- A frequência (número de oscilações por segundo) é dada por
e o período por . - A velocidade instantânea é a derivada do deslocamento:
A velocidade máxima em módulo é (ocorre quando ). - A aceleração instantânea é a segunda derivada:
A aceleração máxima em módulo é (ocorre quando ). - A força restauradora (força resultante que gera MHS) é
. Isso pode ser escrito como com a constante elástica equivalente .
Passo 3
Identificar os parâmetros na expressão dada
:
- Amplitude:
. - Frequência angular:
. - A fase
(não há termo de fase extra).
Passo 4
Usando
:
(Se precisar do período:
.)
Passo 5
Derivando
para obter
:
A velocidade máxima em módulo é
Quando isto acontece?
é máximo quando
. Nesses instantes
e
, portanto o deslocamento é
Conclusão: a velocidade máxima
ocorre quando
(passando pela posição de equilíbrio).
Passo 6
A aceleração é
O módulo máximo é
Isto ocorre quando
, ou seja
. Nessas instantes
Observação física: nesses pontos o bloco está nas extremidades da oscilação (máximo deslocamento) e a aceleração é máxima em módulo, apontando no sentido de levar o bloco de volta ao equilíbrio.
Passo 7
Usando
ou
:
- Constante equivalente:
- Expressão temporal da força:
- Força máxima em módulo:
ocorre em
. O sinal negativo na expressão
indica que a força é restauradora (aponta para o centro/oposição ao deslocamento).
Resposta
(a)
(b) , ocorre em
(c) , ocorre em
(d) ; equivalente
e
(em
).
(b)
(c)
(d)