Um bloco de \mathbf{0 , 1 0 ~ k g} oscila para frente e para trás, ao longo de uma linha reta, numa superfície horizontal sem atrito. Seu deslocamento a partir da origem é dado por \quad x(t)=0,1 \cos (10 \mathrm{t}) m \quad. (a) Qual a frequência da oscilação? (b) Qual a velocidade máxima alcançada pelo bloco? Em que valor de \mathbf{x} isto acontece? (c) Qual a aceleração máxima do bloco? Em que valor de \mathbf{x} isto ocorre? (d) Qual é a força restauradora aplicada no bloco?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
  • Massa do bloco: m=0,10\\ \mathrm{kg}.
  • Deslocamento como função do tempo: x(t)=0,1\cos(10t)\\ \mathrm{m}.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual a frequência da oscilação?
(b) Qual a velocidade máxima alcançada pelo bloco? Em que valor de x isso acontece?
(c) Qual a aceleração máxima do bloco? Em que valor de x isso ocorre?
(d) Qual é a força restauradora aplicada no bloco?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas do movimento harmônico simples (MHS) e o significado das grandezas (explicação didática, passo a passo):
  • A forma geral para MHS é x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), onde:
    • A é a amplitude (máximo deslocamento a partir da origem), em metros;
    • \omega é a frequência angular, em \mathrm{rad/s};
    • \varphi é a fase inicial, em radianos.
  • A frequência (número de oscilações por segundo) é dada por f=\dfrac{\omega}{2\pi} e o período por T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
  • A velocidade instantânea é a derivada do deslocamento: v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).A velocidade máxima em módulo é |v|_{\max}=A\omega (ocorre quando \sin(\omega t+\varphi)=\pm1).
  • A aceleração instantânea é a segunda derivada: a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)=-\omega^2 x(t).A aceleração máxima em módulo é |a|_{\max}=A\omega^2 (ocorre quando \cos(\omega t+\varphi)=\pm1).
  • A força restauradora (força resultante que gera MHS) é F(t)=m a(t)=-m\omega^2 x(t). Isso pode ser escrito como F(t)=-k x(t) com a constante elástica equivalente k=m\omega^2.

Passo 3

Identificar os parâmetros na expressão dada x(t)=0,1\cos(10t):
  • Amplitude: A=0,1\\ \mathrm{m}.
  • Frequência angular: \omega=10\\ \mathrm{rad/s}.
  • A fase \varphi=0 (não há termo de fase extra).

Passo 4

Usando f=\dfrac{\omega}{2\pi}:
f=\frac{10}{2\pi}=\frac{5}{\pi}\approx 1,59\\ \mathrm{Hz}.
(Se precisar do período: T=\dfrac{2\pi}{10}=\dfrac{\pi}{5}\approx0,628\\ \mathrm{s}.)

Passo 5

Derivando x(t) para obter v(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=-0,1\cdot 10\sin(10t)=-1\sin(10t)\\ \mathrm{m/s}.
A velocidade máxima em módulo é
|v|_{\max}=A\omega=0,1\cdot 10=1,0\\ \mathrm{m/s}.
Quando isto acontece? |v| é máximo quando |\sin(10t)|=1. Nesses instantes \sin(10t)=\pm1 e \cos(10t)=0, portanto o deslocamento é
x= A\cos(10t)=0,1\cdot 0=0.
Conclusão: a velocidade máxima 1,0\\ \mathrm{m/s} ocorre quando x=0 (passando pela posição de equilíbrio).

Passo 6

A aceleração é
a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=-0,1\cdot 10^2\cos(10t)=-10\cos(10t)\\ \mathrm{m/s^2}.
O módulo máximo é
|a|_{\max}=A\omega^2=0,1\cdot 10^2=10\\ \mathrm{m/s^2}.
Isto ocorre quando |\cos(10t)|=1, ou seja \cos(10t)=\pm1. Nessas instantes
x=A\cos(10t)=\pm A=\pm 0,1\\ \mathrm{m}.
Observação física: nesses pontos o bloco está nas extremidades da oscilação (máximo deslocamento) e a aceleração é máxima em módulo, apontando no sentido de levar o bloco de volta ao equilíbrio.

Passo 7

Usando F(t)=m a(t) ou F(t)=-m\omega^2 x(t):
  • Constante equivalente:
k=m\omega^2=0,10\cdot 10^2=10\\ \mathrm{N/m}.
  • Expressão temporal da força:
F(t)=-m\omega^2 x(t)=-10\,x(t)=-10\cdot(0,1\cos(10t))=-1\cos(10t)\\ \mathrm{N}.
  • Força máxima em módulo:
|F|_{\max}=m|a|_{\max}=0,10\cdot 10=1,0\\ \mathrm{N},
ocorre em x=\pm 0,1\\ \mathrm{m}. O sinal negativo na expressão F=-k x indica que a força é restauradora (aponta para o centro/oposição ao deslocamento).

Resposta

(a) f=\dfrac{5}{\pi}\approx 1,59\\ \mathrm{Hz}
(b) |v|_{\max}=1,0\\ \mathrm{m/s}, ocorre em x=0
(c) |a|_{\max}=10\\ \mathrm{m/s^2}, ocorre em x=\pm 0,1\\ \mathrm{m}
(d) F(t)=-m\omega^2 x(t)=-10\,x(t)=-1\cos(10t)\\ \mathrm{N}; equivalente k=m\omega^2=10\\ \mathrm{N/m} e |F|_{\max}=1,0\\ \mathrm{N} (em x=\pm 0,1\\ \mathrm{m}).

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