Um oscilador forçado, com amortecimento, tem frequência angular natural de 25 \mathbf{~ r a d} / \mathbf{s}, fator de amortecimento de \mathbf{5 , 0} rad/s, a massa do corpo que oscila é igual a 0,20 \mathrm{~kg} e a força externa que atua no oscilador tem módulo igual a 20 N .
a) Qual a amplitude do movimento oscilatório no regime estacionário, quando a frequência externa for \boldsymbol{\omega}_{\mathbf{e}}=\mathbf{2 3} \mathbf{r a d} / \mathbf{s} ?
b) Qual a amplitude do movimento na ressonância e para baixas frequências?
c) Qual é o fator de qualidade na ressonância para este oscilador?
d) Trace um gráfico (em escala) da curva de ressonância para este sistema. Indique a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências, a meia altura e a meia largura da curva.

Passo 1

Vou listar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • frequência angular natural: \omega_{0}=25\\ \mathrm{rad/s}.
  • fator de amortecimento: \beta=5,0\\ \mathrm{rad/s}. (Aqui interpretamos o “fator de amortecimento” como o coeficiente de amortecimento por unidade de massa \beta=\dfrac{c}{2m}, com dimensão \mathrm{s^{-1}}.)
  • massa: m=0,20\\ \mathrm{kg}.
  • amplitude da força externa: F_{0}=20\\ \mathrm{N}.
  • frequência externa para a letra (a): \omega_{e}=23\\ \mathrm{rad/s}.
O enunciado pede:
(a) amplitude no regime estacionário para \omega=\omega_{e}=23\\ \mathrm{rad/s};
(b) amplitude na ressonância e amplitude para baixas frequências ( \omega\to0);
(c) fator de qualidade na ressonância;
(d) um gráfico da curva de ressonância indicando: amplitude máxima, amplitude de baixas frequências, meia-altura e meia-largura da curva.

Passo 2

Modelo físico e fórmula da amplitude no regime estacionário — explicando passo a passo.
Equação do oscilador forçado com amortecimento (por unidade de massa):
x''+2\beta x'+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega t).
Explicando cada termo:
  • x(t) é o deslocamento.
  • x'' é a aceleração.
  • 2\beta x' é o termo de amortecimento (onde \beta tem dimensão \mathrm{s^{-1}}).
  • \omega_{0}^{2}x é a força restauradora por unidade de massa.
  • \dfrac{F_{0}}{m}\cos(\omega t) é a força externa por unidade de massa, de amplitude \dfrac{F_{0}}{m} e frequência \omega.
No regime estacionário procuramos uma solução particular da forma
x_{p}(t)=X(\omega)\cos(\omega t-\delta),
onde X(\omega) é a amplitude (depende de \omega) e \delta é a defasagem. Substituindo e resolvendo (padrão para equação linear com forçamento harmônico) obtemos a fórmula da amplitude:
X(\omega)=\frac{F_{0}/m}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+(2\beta\omega)^{2}}}.
Explicando: o numerador é a “força por unidade de massa” e o denominador é a resposta efetiva combinando desvio da ressonância (\omega_{0}^{2}-\omega^{2}) e o efeito do amortecimento (2\beta\omega).
Vamos usar essa fórmula para as perguntas.

Passo 3

Cálculo numérico para (a): amplitude em \omega=\omega_{e}=23\\ \mathrm{rad/s}.
Primeiro calculemos o numerador:
\frac{F_{0}}{m}=\frac{20}{0,20}=100\quad(\text{unidades: }\mathrm{m/s^{2}}\text{ em efeito}).
Agora o denominador: calcule \omega_{0}^{2}, \omega^{2} e os termos.
\omega_{0}^{2}=25^{2}=625, \qquad \omega^{2}=23^{2}=529.
Diferença:
\omega_{0}^{2}-\omega^{2}=625-529=96.
Quadrado desse termo:
(96)^{2}=9216.
Termo do amortecimento:
2\beta\omega=2\cdot 5\cdot 23=10\cdot 23=230, \qquad (2\beta\omega)^{2}=230^{2}=52900.
Somando os dois quadrados:
\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+(2\beta\omega)^{2}=9216+52900=62116.
Raiz:
\sqrt{62116}\approx 249{,}231\\ (\text{aprox.}).
Portanto a amplitude:
X(23)=\frac{100}{249{,}231}\approx 0{,}4011\\ \mathrm{m}.
Arredondando com razoável precisão: \;X(23)\approx 0{,}40\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Resposta para (b) — amplitude na ressonância e para baixas frequências.
Primeiro determinar a frequência de pico (frequência de ressonância do sistema amortecido). Para um oscilador amortecido a frequência que maximiza X(\omega) é
\omega_{\mathrm{res}}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\beta^{2}},
desde que o amortecimento não seja muito grande (aqui \beta<\omega_{0}/\sqrt{2}, logo há pico). Calculemos:
2\beta^{2}=2\cdot 5^{2}=2\cdot 25=50, \qquad \omega_{0}^{2}-2\beta^{2}=625-50=575,
\omega_{\mathrm{res}}=\sqrt{575}\approx 23{,}979\\ \mathrm{rad/s}.
Amplitude máxima (inserindo \omega_{\mathrm{res}} na expressão e usando a forma simplificada):
ao substituir \omega=\omega_{\mathrm{res}} obtém‑se, depois de simplificação algébrica,
X_{\max}=X(\omega_{\mathrm{res}})=\frac{F_{0}/m}{2\beta\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}}.
Vamos calcular os termos:
\omega_{0}^{2}-\beta^{2}=625-25=600,\qquad \sqrt{600}\approx 24{,}495.
Assim
2\beta\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}=2\cdot 5\cdot 24{,}495=10\cdot 24{,}495=244{,}949.
Então
X_{\max}=\frac{100}{244{,}949}\approx 0{,}4082\\ \mathrm{m}.
Arredondando: \;X_{\max}\approx 0{,}408\\ \mathrm{m}.
Amplitude para baixas frequências ( \omega\to0):
na fórmula, para \omega\to0 temos
X(0)=\frac{F_{0}/m}{\omega_{0}^{2}}=\frac{100}{625}=0{,}16\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Resposta para (c) — fator de qualidade (Q) na ressonância, explicando o conceito.
Definição prática e útil: o fator de qualidade pode ser relacionado à “nitidez” da curva de ressonância. Uma definição via largura de meia-potência é
Q=\frac{\omega_{\mathrm{res}}}{\Delta\omega},
onde \Delta\omega é a largura total (em rad/s) entre as duas frequências onde a potência dissipada (proporcional a X^{2}) cai a metade — isto é, largura à meia-altura da curva de potência. Para o oscilador linear amortecido temos a relação exata
\Delta\omega=2\beta.
Portanto
Q=\frac{\omega_{\mathrm{res}}}{2\beta}.
Calculando com os valores já obtidos:
\Delta\omega=2\beta=2\cdot 5=10\\ \mathrm{rad/s},
Q=\frac{23{,}979}{10}\approx 2{,}398.
Observação prática: uma aproximação comum é Q\approx\omega_{0}/(2\beta)=25/(10)=2{,}5; a diferença é pequena aqui. A definição mais precisa é usar \omega_{\mathrm{res}} no numerador, então tomamos Q\approx 2{,}40.

Passo 6

Cálculo da meia-altura (amplitude na meia potência) e da meia-largura (largura em frequência entre esses pontos) — procedimento e números.
A meia-potência corresponde a reduzir a potência por um fator 1/2. Como potência é proporcional a X^{2}, a condição é
X(\omega_{\pm})=\frac{X_{\max}}{\sqrt{2}}.
Portanto a amplitude de meia-altura vale
X_{\mathrm{meia}}=\frac{X_{\max}}{\sqrt{2}}.
Usando X_{\max}\approx 0{,}4082\\ \mathrm{m}:
X_{\mathrm{meia}}=\frac{0{,}4082}{\sqrt{2}}\approx \frac{0{,}4082}{1{,}4142}\approx 0{,}2887\\ \mathrm{m}.
As duas frequências de meia-altura ficam aproximadamente simétricas em torno de \omega_{\mathrm{res}}; a diferença entre elas é a meia-largura total \Delta\omega. Para este sistema:
\Delta\omega=2\beta=10\\ \mathrm{rad/s}.
Logo as frequências são
\omega_{1}\approx \omega_{\mathrm{res}}-\frac{\Delta\omega}{2}=23{,}979-5=18{,}979\\ \mathrm{rad/s},
\omega_{2}\approx \omega_{\mathrm{res}}+\frac{\Delta\omega}{2}=23{,}979+5=28{,}979\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Instruções para traçar o gráfico (curva de ressonância) em escala e indicação dos pontos pedidos.
Como não posso desenhar diretamente aqui, descrevo exatamente como desenhar em papel com escala:
  1. Eixos: eixo horizontal = frequência \omega (em \mathrm{rad/s}), eixo vertical = amplitude X(\omega) (em \mathrm{m}).
  2. Escala sugerida (para caber bem os números):
    • \omega de 0 até 35\\ \mathrm{rad/s} com marcações a cada 5\\ \mathrm{rad/s}.
    • X de 0 até 0{,}45\\ \mathrm{m} com marcações a cada 0{,}05\\ \mathrm{m}.
  3. Marque e rotule:
    • amplitude de baixas frequências: X(0)=0{,}16\\ \mathrm{m} (marcar em \omega=0).
    • amplitude máxima: X_{\max}\approx 0{,}408\\ \mathrm{m} em \omega_{\mathrm{res}}\approx 23{,}98\\ \mathrm{rad/s}.
    • meia-altura: X_{\mathrm{meia}}\approx 0{,}2887\\ \mathrm{m}; traçar uma linha horizontal nisso e ver onde corta a curva.
    • meia-largura: marque os dois pontos onde essa linha horizontal corta a curva; as abscissas são aproximadamente \omega_{1}\approx 18{,}98 e \omega_{2}\approx 28{,}98; a diferença é \Delta\omega=10\\ \mathrm{rad/s}.
  4. A forma da curva: começa em X(0)=0{,}16, sobe gradualmente, atinge pico \approx 0{,}408 perto de 24, e decai para valores menores conforme \omega aumenta. O pico não é muito afiado (Q relativamente baixo).
Esses pontos e linhas são suficientes para indicar amplitude máxima, amplitude de baixas frequências, meia-altura e meia-largura na curva.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (como lembrar as fórmulas e fazer cálculos sem errar):
  • Memorização útil: amplitude geral
X(\omega)=\frac{F_{0}/m}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(2\beta\omega)^{2}}}.
  • Ressonância do sistema amortecido: \omega_{\mathrm{res}}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\beta^{2}}.
  • Meia-largura (bandwidth): \Delta\omega=2\beta e Q=\dfrac{\omega_{\mathrm{res}}}{\Delta\omega}.
  • Faça as contas em etapas: calcule \omega_{0}^{2}, \omega^{2}, depois cada termo ao quadrado, some e tire a raiz; isso evita erros de sinais.
  • Sempre confira unidades: \beta em \mathrm{s^{-1}}, \omega em \mathrm{rad/s}, F_{0}/m em \mathrm{m/s^{2}}, amplitudes em \mathrm{m}.

Resposta

(a) X(23)\approx 0{,}401\\ \mathrm{m}
(b) X_{\text{ressonância}}\approx 0{,}408\\ \mathrm{m}â e X(0)=0{,}16\\ \mathrm{m}
(c) Q\approx 2{,}40
(d) Curva de ressonância com:
  • amplitude máxima X_{\max}\approx 0{,}408\\ \mathrm{m} (em \omega_{\mathrm{res}}\approx 23{,}98\\ \mathrm{rad/s});
  • amplitude de baixas frequências X(0)=0{,}16\\ \mathrm{m};
  • meia-altura X_{\mathrm{meia}}=X_{\max}/\sqrt{2}\approx 0{,}2887\\ \mathrm{m};
  • meia-largura \Delta\omega=2\beta=10\\ \mathrm{rad/s} (frequências de meia-altura aproximadamente \omega_{1}\approx 18{,}98 e \omega_{2}\approx 28{,}98\\ \mathrm{rad/s}).

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