Um oscilador forçado, com amortecimento, tem frequência angular natural de
, fator de amortecimento de
rad/s, a massa do corpo que oscila é igual a
e a força externa que atua no oscilador tem módulo igual a 20 N .
a) Qual a amplitude do movimento oscilatório no regime estacionário, quando a frequência externa for
?
b) Qual a amplitude do movimento na ressonância e para baixas frequências?
c) Qual é o fator de qualidade na ressonância para este oscilador?
d) Trace um gráfico (em escala) da curva de ressonância para este sistema. Indique a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências, a meia altura e a meia largura da curva.
a) Qual a amplitude do movimento oscilatório no regime estacionário, quando a frequência externa for
b) Qual a amplitude do movimento na ressonância e para baixas frequências?
c) Qual é o fator de qualidade na ressonância para este oscilador?
d) Trace um gráfico (em escala) da curva de ressonância para este sistema. Indique a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências, a meia altura e a meia largura da curva.
Passo 1
Vou listar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- frequência angular natural:
. - fator de amortecimento:
. (Aqui interpretamos o “fator de amortecimento” como o coeficiente de amortecimento por unidade de massa , com dimensão .) - massa:
. - amplitude da força externa:
. - frequência externa para a letra (a):
.
O enunciado pede:
(a) amplitude no regime estacionário para ;
(b) amplitude na ressonância e amplitude para baixas frequências ( );
(c) fator de qualidade na ressonância;
(d) um gráfico da curva de ressonância indicando: amplitude máxima, amplitude de baixas frequências, meia-altura e meia-largura da curva.
(a) amplitude no regime estacionário para
(b) amplitude na ressonância e amplitude para baixas frequências (
(c) fator de qualidade na ressonância;
(d) um gráfico da curva de ressonância indicando: amplitude máxima, amplitude de baixas frequências, meia-altura e meia-largura da curva.
Passo 2
Modelo físico e fórmula da amplitude no regime estacionário — explicando passo a passo.
Equação do oscilador forçado com amortecimento (por unidade de massa):
Explicando cada termo:
-
é o deslocamento. -
é a aceleração. -
é o termo de amortecimento (onde tem dimensão ). -
é a força restauradora por unidade de massa. -
é a força externa por unidade de massa, de amplitude e frequência .
No regime estacionário procuramos uma solução particular da forma
onde
é a amplitude (depende de
) e
é a defasagem. Substituindo e resolvendo (padrão para equação linear com forçamento harmônico) obtemos a fórmula da amplitude:
Explicando: o numerador é a “força por unidade de massa” e o denominador é a resposta efetiva combinando desvio da ressonância
e o efeito do amortecimento
.
Vamos usar essa fórmula para as perguntas.
Passo 3
Cálculo numérico para (a): amplitude em
.
Primeiro calculemos o numerador:
Agora o denominador: calcule
,
e os termos.
Diferença:
Quadrado desse termo:
Termo do amortecimento:
Somando os dois quadrados:
Raiz:
Portanto a amplitude:
Arredondando com razoável precisão:
Passo 4
Resposta para (b) — amplitude na ressonância e para baixas frequências.
Primeiro determinar a frequência de pico (frequência de ressonância do sistema amortecido). Para um oscilador amortecido a frequência que maximiza
é
desde que o amortecimento não seja muito grande (aqui
, logo há pico). Calculemos:
Amplitude máxima (inserindo
na expressão e usando a forma simplificada):
ao substituir obtém‑se, depois de simplificação algébrica,
ao substituir
Vamos calcular os termos:
Assim
Então
Arredondando:
Amplitude para baixas frequências (
):
na fórmula, para temos
na fórmula, para
Passo 5
Resposta para (c) — fator de qualidade (Q) na ressonância, explicando o conceito.
Definição prática e útil: o fator de qualidade pode ser relacionado à “nitidez” da curva de ressonância. Uma definição via largura de meia-potência é
onde
é a largura total (em rad/s) entre as duas frequências onde a potência dissipada (proporcional a
) cai a metade — isto é, largura à meia-altura da curva de potência. Para o oscilador linear amortecido temos a relação exata
Portanto
Calculando com os valores já obtidos:
Observação prática: uma aproximação comum é
; a diferença é pequena aqui. A definição mais precisa é usar
no numerador, então tomamos
.
Passo 6
Cálculo da meia-altura (amplitude na meia potência) e da meia-largura (largura em frequência entre esses pontos) — procedimento e números.
A meia-potência corresponde a reduzir a potência por um fator
. Como potência é proporcional a
, a condição é
Portanto a amplitude de meia-altura vale
Usando
:
As duas frequências de meia-altura ficam aproximadamente simétricas em torno de
; a diferença entre elas é a meia-largura total
. Para este sistema:
Logo as frequências são
Passo 7
Instruções para traçar o gráfico (curva de ressonância) em escala e indicação dos pontos pedidos.
Como não posso desenhar diretamente aqui, descrevo exatamente como desenhar em papel com escala:
- Eixos: eixo horizontal = frequência
(em ), eixo vertical = amplitude (em ). - Escala sugerida (para caber bem os números):
-
de até com marcações a cada . -
de até com marcações a cada .
-
- Marque e rotule:
- amplitude de baixas frequências:
(marcar em ). - amplitude máxima:
em . - meia-altura:
; traçar uma linha horizontal nisso e ver onde corta a curva. - meia-largura: marque os dois pontos onde essa linha horizontal corta a curva; as abscissas são aproximadamente
e ; a diferença é .
- amplitude de baixas frequências:
- A forma da curva: começa em
, sobe gradualmente, atinge pico perto de , e decai para valores menores conforme aumenta. O pico não é muito afiado (Q relativamente baixo).
Esses pontos e linhas são suficientes para indicar amplitude máxima, amplitude de baixas frequências, meia-altura e meia-largura na curva.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (como lembrar as fórmulas e fazer cálculos sem errar):
- Memorização útil: amplitude geral
- Ressonância do sistema amortecido:
. - Meia-largura (bandwidth):
e . - Faça as contas em etapas: calcule
, , depois cada termo ao quadrado, some e tire a raiz; isso evita erros de sinais. - Sempre confira unidades:
em , em , em , amplitudes em .
Resposta
(a)
(b) e
(c)
(d) Curva de ressonância com:
(b)
(c)
(d) Curva de ressonância com:
- amplitude máxima
(em ); - amplitude de baixas frequências
; - meia-altura
; - meia-largura
(frequências de meia-altura aproximadamente e ).