Um sistema massa-mola forçado com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igua a 900
e um corpo de massa igual a
. A constante de atrito do oscilador é igual a
. A amplitude do oscilador na ressonância é igual
. a) Calcule o valor máximo
da força externa aplicada nesse oscilado. b) Encontre a amplitude para baixas frequências e o fator de qualidade. Resp.: a)
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes valores do enunciado):
- Massa:
. - Constante elástica da mola:
. - Coeficiente de amortecimento (constante de atrito):
. - Amplitude observada na ressonância:
. - A força externa aplicada é
; queremos encontrar o valor máximo . - Perguntas:
a) Calcular(valor máximo da força externa) dado que a amplitude na ressonância é .
b) Determinar a amplitude para baixas frequências (isto é,) e o fator de qualidade .
Passo 2
Escrevendo a equação do movimento e explicando cada termo
A equação do oscilador massa-mola amortecido forçado é
Explicando cada símbolo:
-
é o deslocamento do corpo. -
é a massa. -
é o coeficiente de amortecimento (unidade ). -
é a constante da mola (unidade ). -
é a amplitude (valor máximo) da força externa aplicada. -
é a frequência angular da força externa.
No estado estacionário (após transientes), a resposta é harmônica na frequência da força externa:
onde
é a amplitude dependente de
e
é a defasagem.
Passo 3
Fórmula da amplitude em regime forçado permanente (derivação sucinta / resultado conhecido)
Ao substituir a solução harmônica e resolver (ou usando análise de impedâncias), obtém-se a expressão conhecida para a amplitude:
Comentário didático: o numerador é a “força” e o denominador é a impedância efetiva (soma vetorial da parte elástica
e da parte dissipativa
). Para cada
, essa fórmula dá a amplitude estacionária.
Passo 4
Frequência natural e identificação da ressonância (fórmulas úteis)
A frequência natural (sem amortecimento) é
Para amortecimento fraco, a amplitude atinge um máximo próximo de
; matematicamente, a frequência que maximiza
(minimiza o denominador) é
Esse resultado vem de minimizar o quadrado do denominador em função de
. Em seguida, o valor máximo da amplitude (em
) é
Essa expressão foi obtida avaliando o denominador mínimo explicitamente em
; é útil porque relaciona
,
,
,
e
.
Passo 5
Cálculo numérico da frequência natural e da frequência de ressonância aproximada
Calculemos
:
Agora calculemos o termo
que aparece na fórmula do denominador:
Então
A raiz é
Observe que, por amortecimento fraco, esse valor é muito próximo de
.
Passo 6
Usar a amplitude máxima dada para achar
Temos a expressão do máximo da amplitude:
Rearranjando para
:
Agora substituímos os números (peguei
do enunciado):
Calcule passo a passo:
Arredondando de forma adequada:
Comentário: se ignorássemos o pequeno termo
(aproximação
), obteríamos
, o que mostra que a diferença é desprezível aqui.
Passo 7
Amplitude para baixas frequências (
)
Para baixas frequências, na expressão geral
ao tomar
temos
e
, portanto
Substituindo
e
:
Em notação mais intuitiva,
.
Passo 8
Cálculo do fator de qualidade
O fator de qualidade para um oscilador amortecido é dado por
Explicação rápida:
mede quantas oscilações a energia leva para decair; valores altos significam amortecimento fraco. Substituindo:
Passo 9
Resumo numérico e verificação rápida
-
calculado é , compatível com a aproximação simples porque o amortecimento é fraco. - Amplitude em baixas frequências
. - Fator de qualidade
, indicando amortecimento fraco (coerente com o enunciado).
Resposta
a)
b)
;