Um sistema massa-mola forçado com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igua a 900 \mathbf{N} / \mathbf{m} e um corpo de massa igual a \mathbf{4 , 0 ~ k g}. A constante de atrito do oscilador é igual a \mathbf{2 , 0 ~ k g} / \mathbf{s}. A amplitude do oscilador na ressonância é igual \mathbf{0 , 2 2 ~ m}. a) Calcule o valor máximo \mathrm{F}_{0} da força externa aplicada nesse oscilado. b) Encontre a amplitude para baixas frequências e o fator de qualidade. Resp.: a) \mathbf{F}_{\mathbf{0}}=\mathbf{6 , 6} \mathbf{N} ; \mathbf{b )} \mathbf{Q}=\mathbf{3 0};

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes valores do enunciado):
  • Massa: m=4,0\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=900\\ \mathrm{N/m}.
  • Coeficiente de amortecimento (constante de atrito): c=2,0\\ \mathrm{kg/s}.
  • Amplitude observada na ressonância: A_{\rm res}=0,22\\ \mathrm{m}.
  • A força externa aplicada é F(t)=F_0\cos(\omega t); queremos encontrar o valor máximo F_0.
  • Perguntas:
    a) Calcular F_0 (valor máximo da força externa) dado que a amplitude na ressonância é 0,22\\ \mathrm{m}.
    b) Determinar a amplitude para baixas frequências (isto é, A(\omega\to0)) e o fator de qualidade Q.

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento e explicando cada termo
A equação do oscilador massa-mola amortecido forçado é
m\ddot x + c\dot x + k x = F_0\cos(\omega t).
Explicando cada símbolo:
  • x(t) é o deslocamento do corpo.
  • m é a massa.
  • c é o coeficiente de amortecimento (unidade \mathrm{kg/s}).
  • k é a constante da mola (unidade \mathrm{N/m}).
  • F_0 é a amplitude (valor máximo) da força externa aplicada.
  • \omega é a frequência angular da força externa.
    No estado estacionário (após transientes), a resposta é harmônica na frequência da força externa:
x(t)=A(\omega)\cos(\omega t-\delta),
onde A(\omega) é a amplitude dependente de \omega e \delta é a defasagem.

Passo 3

Fórmula da amplitude em regime forçado permanente (derivação sucinta / resultado conhecido)
Ao substituir a solução harmônica e resolver (ou usando análise de impedâncias), obtém-se a expressão conhecida para a amplitude:
A(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
Comentário didático: o numerador é a “força” e o denominador é a impedância efetiva (soma vetorial da parte elástica (k-m\omega^2) e da parte dissipativa c\omega). Para cada \omega, essa fórmula dá a amplitude estacionária.

Passo 4

Frequência natural e identificação da ressonância (fórmulas úteis)
A frequência natural (sem amortecimento) é
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Para amortecimento fraco, a amplitude atinge um máximo próximo de \omega_0; matematicamente, a frequência que maximiza A(\omega) (minimiza o denominador) é
\omega_{\rm r}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{c^2}{2m^2}}.
Esse resultado vem de minimizar o quadrado do denominador em função de \omega^2. Em seguida, o valor máximo da amplitude (em \omega=\omega_{\rm r}) é
A_{\rm max}=A(\omega_{\rm r})=\frac{F_0}{c\sqrt{\omega_0^2-\dfrac{c^2}{4m^2}}}.
Essa expressão foi obtida avaliando o denominador mínimo explicitamente em \omega_{\rm r}; é útil porque relaciona A_{\rm max}, F_0, c, m e k.

Passo 5

Cálculo numérico da frequência natural e da frequência de ressonância aproximada
Calculemos \omega_0:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{900}{4,0}}=\sqrt{225}=15{,}0\\ \mathrm{rad/s}.
Agora calculemos o termo \dfrac{c^2}{4m^2} que aparece na fórmula do denominador:
\frac{c^2}{4m^2}=\frac{(2{,}0)^2}{4\cdot(4{,}0)^2}=\frac{4}{4\cdot 16}=\frac{4}{64}=0{,}0625\\ \mathrm{s^{-2}}.
Então
\omega_0^2-\frac{c^2}{4m^2}=225-0{,}0625=224{,}9375.
A raiz é
\sqrt{\omega_0^2-\frac{c^2}{4m^2}}=\sqrt{224{,}9375}\approx14{,}999.
Observe que, por amortecimento fraco, esse valor é muito próximo de \omega_0=15{,}0\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Usar a amplitude máxima dada para achar F_0
Temos a expressão do máximo da amplitude:
A_{\rm max}=\frac{F_0}{c\sqrt{\omega_0^2-\dfrac{c^2}{4m^2}}}.
Rearranjando para F_0:
F_0 = A_{\rm max}\; c\; \sqrt{\omega_0^2-\dfrac{c^2}{4m^2}}.
Agora substituímos os números (peguei A_{\rm max}=0{,}22\\ \mathrm{m} do enunciado):
F_0 = 0{,}22\cdot 2{,}0\cdot 14{,}999\\ \mathrm{N}.
Calcule passo a passo:
2{,}0\cdot 14{,}999 \approx 29{,}998,
F_0 \approx 0{,}22\cdot 29{,}998 \approx 6{,}5996\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma adequada:
F_0 \approx 6{,}6\\ \mathrm{N}.
Comentário: se ignorássemos o pequeno termo \dfrac{c^2}{4m^2} (aproximação \omega_{\rm r}\approx\omega_0), obteríamos F_0\approx A_{\rm max}\,c\,\omega_0=0{,}22\cdot2{,}0\cdot15{,}0=6{,}6\\ \mathrm{N}, o que mostra que a diferença é desprezível aqui.

Passo 7

Amplitude para baixas frequências ( \omega\to0)
Para baixas frequências, na expressão geral
A(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}},
ao tomar \omega\to0 temos m\omega^2\to0 e c\omega\to0, portanto
A(0)=\frac{F_0}{k}.
Substituindo F_0\approx6{,}6\\ \mathrm{N} e k=900\\ \mathrm{N/m}:
A(0)=\frac{6{,}6}{900}\\ \mathrm{m}=0{,}007333\ldots\\ \mathrm{m}\approx 0{,}00733\\ \mathrm{m}.
Em notação mais intuitiva, A(0)\approx 7,33\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Cálculo do fator de qualidade Q
O fator de qualidade para um oscilador amortecido é dado por
Q=\frac{m\omega_0}{c}.
Explicação rápida: Q mede quantas oscilações a energia leva para decair; valores altos significam amortecimento fraco. Substituindo:
Q=\frac{4{,}0\cdot 15{,}0}{2{,}0}=\frac{60}{2}=30.

Passo 9

Resumo numérico e verificação rápida
  • F_0 calculado é \approx 6{,}6\\ \mathrm{N}, compatível com a aproximação simples F_0\approx A_{\rm res}\,c\,\omega_0 porque o amortecimento é fraco.
  • Amplitude em baixas frequências A(0)=F_0/k\approx0{,}00733\\ \mathrm{m}.
  • Fator de qualidade Q=30, indicando amortecimento fraco (coerente com o enunciado).

Resposta

a) F_0=6{,}6\\ \mathrm{N}
b) A(\omega\to0)=0{,}00733\\ \mathrm{m} ; Q=30

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