Um bloco de 0,5 \mathrm{~kg} de massa está preso a uma mola cuja constante de mola é de 50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco oscila em MHS e no instante t=0 ele se encontra deslocado de 5 cm de sua posição de equilíbrio e sua velocidade é de 0,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a equação horária para o deslocamento do bloco.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede e o que foi dado):
  • Um bloco de massa 0,5\\ \mathrm{kg}.
  • Uma mola com constante elástica 50\\ \mathrm{N/m}.
  • No instante t=0 o bloco está deslocado 5\\ \mathrm{cm} da posição de equilíbrio e tem velocidade 0,4\\ \mathrm{m/s}.
    • Ou seja, x(0)=0,05\\ \mathrm{m} (assumindo o sinal positivo do deslocamento dado) e v(0)=0,4\\ \mathrm{m/s}.
  • Pede-se: determinar a equação horária do deslocamento x(t) do bloco em MHS.

Passo 2

Equação do movimento e constante angular:
  • Para um sistema massa-mola sem atrito a equação diferencial do movimento é
m\,\ddot{x}+k\,x=0,
onde m é a massa (em kg), k é a constante da mola (em N/m), x(t) é o deslocamento (em m) e \ddot{x} é a segunda derivada temporal de x (aceleração).
  • A solução é oscilatória com frequência angular
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
  • Calcular \omega com os números dados:
\omega=\sqrt{\dfrac{50}{0,5}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Forma geral da solução e significado das constantes:
  • A solução geral da equação m\ddot{x}+k x=0 pode ser escrita como combinação de cosseno e seno:
x(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t),
onde C e D são constantes determinadas pelas condições iniciais.
  • Interpretação: C é o deslocamento inicial quando o termo seno vale zero; D aparece ligado à velocidade inicial (pois a derivada do seno dá cosseno multiplicado por \omega).

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para achar C e D:
  • Em t=0:
x(0)=C\cos(0)+D\sin(0)=C.
Portanto
C=x(0)=0,05\\ \mathrm{m}.
  • A velocidade é v(t)=\dot{x}(t)=-C\omega\sin(\omega t)+D\omega\cos(\omega t). Em t=0:
v(0)=D\omega.
Logo
D=\dfrac{v(0)}{\omega}=\dfrac{0,4}{10}=0,04\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação e forma alternativa com amplitude e fase:
  • Podemos também escrever a solução na forma fase-amplitude
x(t)=A\cos(\omega t-\varphi),
onde A é a amplitude e \varphi é a fase inicial. As relações com C e D são
C=A\cos\varphi,\qquad D=A\sin\varphi.
  • Calcular a amplitude A:
A=\sqrt{C^{2}+D^{2}}=\sqrt{(0,05)^{2}+(0,04)^{2}}=\sqrt{0,0025+0,0016}=\sqrt{0,0041}\approx0,0640\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a fase \varphi (ângulo cuja tangente é D/C):
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{D}{C}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{0,04}{0,05}\right)=\arctan(0,8)\approx0,6747\\ \text{rad}.
Aqui C>0 e D>0, então \varphi está no primeiro quadrante e a fórmula direta acima vale sem ambiguidade.

Resposta

x(t)=0,05\cos\bigl(10\,t\bigr)+0,04\sin\bigl(10\,t\bigr)\\ \mathrm{m}
x(t)=0,0640\cos\bigl(10\,t-0,6747\bigr)\\ \mathrm{m}

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