Um bloco de
de massa está preso a uma mola cuja constante de mola é de
. O bloco oscila em MHS e no instante
ele se encontra deslocado de 5 cm de sua posição de equilíbrio e sua velocidade é de
. Determine a equação horária para o deslocamento do bloco.
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema pede e o que foi dado):
- Um bloco de massa
. - Uma mola com constante elástica
. - No instante
o bloco está deslocado da posição de equilíbrio e tem velocidade . - Ou seja,
(assumindo o sinal positivo do deslocamento dado) e .
- Ou seja,
- Pede-se: determinar a equação horária do deslocamento
do bloco em MHS.
Passo 2
Equação do movimento e constante angular:
- Para um sistema massa-mola sem atrito a equação diferencial do movimento é
onde
é a massa (em kg),
é a constante da mola (em N/m),
é o deslocamento (em m) e
é a segunda derivada temporal de
(aceleração).
- A solução é oscilatória com frequência angular
- Calcular
com os números dados:
Passo 3
Forma geral da solução e significado das constantes:
- A solução geral da equação
pode ser escrita como combinação de cosseno e seno:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
- Interpretação:
é o deslocamento inicial quando o termo seno vale zero; aparece ligado à velocidade inicial (pois a derivada do seno dá cosseno multiplicado por ).
Passo 4
Aplicar as condições iniciais para achar
e
:
- Em
:
Portanto
- A velocidade é
. Em :
Logo
Passo 5
Interpretação e forma alternativa com amplitude e fase:
- Podemos também escrever a solução na forma fase-amplitude
onde
é a amplitude e
é a fase inicial. As relações com
e
são
- Calcular a amplitude
:
- Calcular a fase
(ângulo cuja tangente é ):
Aqui
e
, então
está no primeiro quadrante e a fórmula direta acima vale sem ambiguidade.