Trabalho 1. Obtivemos a aceleraçāo centrípeta em sala em termos da descriçāo vetorial do movimento circular. Entretanto, a ideia do lançamento de projéteis pode ser mais elaborada de modo a chegarmos na expressão da aceleraçāo centrípeta de uma forma mais parecida com aquela feita por Newton.
(a) Dado que a equaçāo da trajetória do movimento de projéteis é
y(x)=y_{0}+\tan \theta\left(x-x_{0}\right)-\frac{g\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \theta},
mostre que ela pode ser escrita na forma geral de uma parábola. isto é,
y-y_{0}^{\prime}=\alpha\left(x-x_{0}^{\prime}\right)^{2} .
Obtenha os valores de x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime} e \alpha. Pode ser útil lembrar que \sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta.
(b) Uma trajetória circular pode ser escrita como \left(x-x_{c}\right)^{2}+\left(y-y_{c}\right)^{2}=R^{2}, com \left(x_{c}, y_{c}\right) sendo as coordenadas do centro da trajetória e R o raio do círculo. Pode-se, ainda, tomar apenas um semi-círculo da trajetória descrito por
y(x)=y_{c}+\sqrt{R^{2}-\left(x-x_{c}\right)^{2}}
A trajetória acima, quando vista nas proximidades de x=x_{e}, pode ser aproximada da seguinte forma
y(x) \approx y\left(x_{0}\right)+\left.\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}^{2} y(x)}{\mathrm{d} x^{2}}\right|_{x=x}\left(x-x_{0}\right)^{2}
Obtenha a equaçāo aproximada para o semi-círculo descrito pela equaçāo (3) e mostre que ela tem a forma
y(x) \approx y_{c}+R-\frac{1}{2 R}\left(x-x_{c}\right)^{2} .

Passo 1

O enunciado nos dá duas partes. Vou listar claramente o que é pedido e quais são as informações fornecidas.
Parte (a) — enunciado e pedido:
  • A equação da trajetória de um projétil é
y(x)=y_{0}+\tan\theta\,(x-x_{0})-\frac{g\,(x-x_{0})^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
  • Pede-se mostrar que essa equação pode ser escrita na forma de vértice de uma parábola:
y-y_{0}^{\prime}=\alpha\,(x-x_{0}^{\prime})^{2},
e determinar explicitamente x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime} e \alpha.
Informações úteis fornecidas (que podem ser usadas):
  • A identidade trigonométrica \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta.
  • As constantes físicas e geométricas são: g (aceleração da gravidade), v_{0} (velocidade inicial), \theta (ângulo de lançamento), x_{0},y_{0} (posição inicial).
Parte (b) — enunciado e pedido:
  • A equação de um semi-círculo (parte superior) é escrita como
y(x)=y_{c}+\sqrt{R^{2}-\bigl(x-x_{c}\bigr)^{2}},
onde (x_{c},y_{c}) é o centro e R o raio.
  • Pede-se aproximar essa curva nas proximidades de x=x_{c} usando a expansão até segunda ordem (termo quadrático), ou seja:
y(x)\approx y(x_{c})+\left.\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\right|_{x=x_{c}}(x-x_{c})^{2},
e mostrar que a aproximação fica
y(x)\approx y_{c}+R-\frac{1}{2R}\bigl(x-x_{c}\bigr)^{2}.
Pronto — agora que está claro o que é pedido e os dados, parto para a resolução passo a passo.

Passo 2

(Parte a) Preparar a expressão para completar o quadrado.
  • Para simplificar a álgebra, defino a variável auxiliar
u:=x-x_{0}.
Com isso a trajetória fica
y=y_{0}+\tan\theta\,u-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}\,u^{2}.
  • Identifico que isto é um polinômio quadrático em u da forma
y-y_{0}=A\,u^{2}+B\,u,
com
A=-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta},\qquad B=\tan\theta.
  • Explicação didática (completa): completar o quadrado é uma técnica para escrever um quadrático A u^{2}+B u na forma A(u-h)^{2}+C, onde h é o deslocamento do vértice. Isso facilita identificar o vértice da parábola. O procedimento é:
A u^{2}+B u = A\Bigl(u^{2}+\frac{B}{A}u\Bigr) = A\Bigl[\bigl(u+\tfrac{B}{2A}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{B}{2A}\bigr)^{2}\Bigr].
Vou aplicar exatamente isso ao caso acima.

Passo 3

(Parte a) Executar a completude do quadrado e encontrar \alpha e o deslocamento do vértice.
  • Aplicando a fórmula para completar o quadrado com A e B dados:
y-y_{0}=A\Bigl[\bigl(u+\tfrac{B}{2A}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{B}{2A}\bigr)^{2}\Bigr].
  • Defino o deslocamento
h:= -\frac{B}{2A}.
Obs.: o sinal aparece porque escrevi (u - h)^{2} em vez de \bigl(u + \tfrac{B}{2A}\bigr)^{2}. Com essa definição teremos o formato desejado em termos de (u-h)^{2}.
  • Substituindo A e B:
A=-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta},\qquad B=\tan\theta,
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h=-\frac{\tan\theta}{2A}.
  • Calculo explícito de h:
2A = 2\left(-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}\right) = -\frac{g}{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta},
então
h=-\frac{\tan\theta}{-\dfrac{g}{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}} = \tan\theta\cdot\frac{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}{g}.
  • Simplifico usando \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}:
h=\frac{v_{0}^{2}}{g}\sin\theta\cos\theta.
  • Usando a identidade \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, escrevo h de forma mais reconhecível:
h=\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta.
  • Lembrete do significado: h é o deslocamento do vértice medido na variável u=x-x_{0}. Ou seja, o vértice está em
x_{0}^{\prime}=x_{0}+h = x_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta.

Passo 4

(Parte a) Determinar \alpha e y_{0}^{\prime} a partir da forma completada.
  • A constante que multiplica o quadrado é simplesmente A. Como o objetivo é a forma
y-y_{0}^{\prime}=\alpha\,(x-x_{0}^{\prime})^{2},
temos diretamente
\alpha = A = -\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
  • Agora preciso encontrar y_{0}^{\prime}, que é a ordenada do vértice. Voltando à expressão completada:
y-y_{0}=A\Bigl[(u-h)^{2}-h^{2}\Bigr]=A(u-h)^{2}-A h^{2}.
Reorganizando para obter y-y_{0}^{\prime} do lado esquerdo:
y-y_{0}^{\prime}=A(u-h)^{2},
onde
y_{0}^{\prime}=y_{0}-A h^{2}.
  • Calculo de A h^{2}. Já tenho A=-\dfrac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta} e h=\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta. Então
h^{2}=\frac{v_{0}^{4}}{4g^{2}}\sin^{2}2\theta.
Multiplico:
A h^{2}=-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}\cdot\frac{v_{0}^{4}}{4g^{2}}\sin^{2}2\theta =-\frac{v_{0}^{2}}{8g}\cdot\frac{\sin^{2}2\theta}{\cos^{2}\theta}.
  • Simplifico \dfrac{\sin^{2}2\theta}{\cos^{2}\theta}. Usando \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta obtemos \sin^{2}2\theta = 4\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta. Assim
\frac{\sin^{2}2\theta}{\cos^{2}\theta}=4\sin^{2}\theta.
Portanto
A h^{2}=-\frac{v_{0}^{2}}{8g}\cdot 4\sin^{2}\theta = -\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin^{2}\theta.
  • Finalmente
y_{0}^{\prime}=y_{0}-A h^{2}=y_{0}-\bigl(-\tfrac{v_{0}^{2}}{2g}\sin^{2}\theta\bigr)=y_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin^{2}\theta.
  • Comentário interpretativo (didático): x_{0}^{\prime} e y_{0}^{\prime} são as coordenadas do vértice da parábola (o ponto mais alto da trajetória se \alpha<0). As fórmulas obtidas coincidem com as conhecidas para o alcance horizontal do vértice e altura máxima: o vértice está deslocado de x_{0} por \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta e sua altura acima de y_{0} é \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}\sin^{2}\theta.

Passo 5

(Resumo intermediário — Parte a)
Reunindo os resultados obtidos:
\alpha = -\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta},
x_{0}^{\prime}=x_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta,
y_{0}^{\prime}=y_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin^{2}\theta.
Esses três valores completam a escrita da parábola na forma vértice pedida:
y-y_{0}^{\prime}=\alpha\,(x-x_{0}^{\prime})^{2}.

Passo 6

(Parte b) Preparar a aproximação por série até a segunda ordem em torno de x=x_{c}.
  • Defino z:=x-x_{c}. Então a função do semi-círculo fica
y(x)=y_{c}+\sqrt{R^{2}-z^{2}}.
  • A expansão pedida é a expansão em série de Taylor centrada em z=0 (ou seja, x=x_{c}) até termos quadráticos. Especificamente, como a derivada primeira no ponto central será zero pela simetria, a aproximação até segunda ordem é
y(x)\approx y(x_{c})+\frac{1}{2}y''(x_{c})\,(x-x_{c})^{2}.
Vou calcular y(x_{c}), y'(x) e y''(x) e avaliá-los em x=x_{c}.

Passo 7

(Parte b) Calcular as derivadas de y(x)=y_{c}+\sqrt{R^{2}-z^{2}}.
  • Derivada primeira (lembrando que \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=1):
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{R^{2}-z^{2}} =\frac{1}{2\sqrt{R^{2}-z^{2}}}\cdot(-2z) =-\frac{z}{\sqrt{R^{2}-z^{2}}}.
  • Avaliando em z=0 (ou seja x=x_{c}):
y'(x_{c})=0,
o que é esperado porque no ponto central superior do semi-círculo a tangente é horizontal.
  • Derivada segunda: diferencio y' em relação a x. Usando y'=-z\,(R^{2}-z^{2})^{-1/2},
y''=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl[-z(R^{2}-z^{2})^{-1/2}\Bigr].
Fazendo a derivação com regra do produto e cadeia:
y'' = -1\cdot(R^{2}-z^{2})^{-1/2} - z\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)(R^{2}-z^{2})^{-3/2}\cdot(-2z).
Simplifico o segundo termo:
- z\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)\cdot(-2z) = -z\cdot (z) = -z^{2}.
Portanto
y'' = -\frac{1}{\sqrt{R^{2}-z^{2}}}-\frac{z^{2}}{(R^{2}-z^{2})^{3/2}}.
  • Coloco em único denominador:
y'' = -\frac{(R^{2}-z^{2})+z^{2}}{(R^{2}-z^{2})^{3/2}} = -\frac{R^{2}}{(R^{2}-z^{2})^{3/2}}.
  • Avalio em z=0:
y''(x_{c})=-\frac{R^{2}}{R^{3}}=-\frac{1}{R}.

Passo 8

(Parte b) Substituir na aproximação até segunda ordem e concluir.
  • A aproximação até segunda ordem em torno de x_{c} é
y(x)\approx y(x_{c})+\frac{1}{2}y''(x_{c})\,(x-x_{c})^{2}.
  • Sabendo que y(x_{c})=y_{c}+\sqrt{R^{2}}=y_{c}+R e y''(x_{c})=-\dfrac{1}{R}, substituo:
y(x)\approx y_{c}+R+\frac{1}{2}\Bigl(-\frac{1}{R}\Bigr)(x-x_{c})^{2} = y_{c}+R-\frac{1}{2R}\,(x-x_{c})^{2}.
  • Comentário didático: esta expressão é exatamente a forma parabólica que melhor aproxima localmente o semi-círculo perto do topo; o termo quadrático negativo indica concavidade para baixo, e o coeficiente -\dfrac{1}{2R} mostra que quanto maior o raio R, mais “achatada” é a curvatura local (menor curvatura).

Resposta

(a) \displaystyle \alpha=-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta},\quad x_{0}^{\prime}=x_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta,\quad y_{0}^{\prime}=y_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin^{2}\theta
(b) \displaystyle y(x)\approx y_{c}+R-\frac{1}{2R}\bigl(x-x_{c}\bigr)^{2}

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