Trabalho 1. Obtivemos a aceleraçāo centrípeta em sala em termos da descriçāo vetorial do movimento circular. Entretanto, a ideia do lançamento de projéteis pode ser mais elaborada de modo a chegarmos na expressão da aceleraçāo centrípeta de uma forma mais parecida com aquela feita por Newton.
(a) Dado que a equaçāo da trajetória do movimento de projéteis é
Obtenha os valores de x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime} e \alpha. Pode ser útil lembrar que \sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta.
(b) Uma trajetória circular pode ser escrita como \left(x-x_{c}\right)^{2}+\left(y-y_{c}\right)^{2}=R^{2}, com \left(x_{c}, y_{c}\right) sendo as coordenadas do centro da trajetória e R o raio do círculo. Pode-se, ainda, tomar apenas um semi-círculo da trajetória descrito por
y(x)=y_{c}+\sqrt{R^{2}-\left(x-x_{c}\right)^{2}}
A trajetória acima, quando vista nas proximidades de x=x_{e}, pode ser aproximada da seguinte forma
Pede-se mostrar que essa equação pode ser escrita na forma de vértice de uma parábola:
y-y_{0}^{\prime}=\alpha\,(x-x_{0}^{\prime})^{2},
e determinar explicitamente x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime} e \alpha.
Informações úteis fornecidas (que podem ser usadas):
A identidade trigonométrica \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta.
As constantes físicas e geométricas são: g (aceleração da gravidade), v_{0} (velocidade inicial), \theta (ângulo de lançamento), x_{0},y_{0} (posição inicial).
Parte (b) — enunciado e pedido:
A equação de um semi-círculo (parte superior) é escrita como
y(x)=y_{c}+\sqrt{R^{2}-\bigl(x-x_{c}\bigr)^{2}},
onde (x_{c},y_{c}) é o centro e R o raio.
Pede-se aproximar essa curva nas proximidades de x=x_{c} usando a expansão até segunda ordem (termo quadrático), ou seja:
Explicação didática (completa): completar o quadrado é uma técnica para escrever um quadrático A u^{2}+B u na forma A(u-h)^{2}+C, onde h é o deslocamento do vértice. Isso facilita identificar o vértice da parábola. O procedimento é:
A u^{2}+B u = A\Bigl(u^{2}+\frac{B}{A}u\Bigr) = A\Bigl[\bigl(u+\tfrac{B}{2A}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{B}{2A}\bigr)^{2}\Bigr].
Vou aplicar exatamente isso ao caso acima.
Passo 3
(Parte a) Executar a completude do quadrado e encontrar \alpha e o deslocamento do vértice.
Aplicando a fórmula para completar o quadrado com A e B dados:
Obs.: o sinal aparece porque escrevi (u - h)^{2} em vez de \bigl(u + \tfrac{B}{2A}\bigr)^{2}. Com essa definição teremos o formato desejado em termos de (u-h)^{2}.
Reorganizando para obter y-y_{0}^{\prime} do lado esquerdo:
y-y_{0}^{\prime}=A(u-h)^{2},
onde
y_{0}^{\prime}=y_{0}-A h^{2}.
Calculo de A h^{2}. Já tenho A=-\dfrac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta} e h=\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta. Então
h^{2}=\frac{v_{0}^{4}}{4g^{2}}\sin^{2}2\theta.
Multiplico:
A h^{2}=-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}\cdot\frac{v_{0}^{4}}{4g^{2}}\sin^{2}2\theta =-\frac{v_{0}^{2}}{8g}\cdot\frac{\sin^{2}2\theta}{\cos^{2}\theta}.
Comentário interpretativo (didático): x_{0}^{\prime} e y_{0}^{\prime} são as coordenadas do vértice da parábola (o ponto mais alto da trajetória se \alpha<0). As fórmulas obtidas coincidem com as conhecidas para o alcance horizontal do vértice e altura máxima: o vértice está deslocado de x_{0} por \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta e sua altura acima de y_{0} é \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}\sin^{2}\theta.
Passo 5
(Resumo intermediário — Parte a)
Reunindo os resultados obtidos:
Esses três valores completam a escrita da parábola na forma vértice pedida:
y-y_{0}^{\prime}=\alpha\,(x-x_{0}^{\prime})^{2}.
Passo 6
(Parte b) Preparar a aproximação por série até a segunda ordem em torno de x=x_{c}.
Defino z:=x-x_{c}. Então a função do semi-círculo fica
y(x)=y_{c}+\sqrt{R^{2}-z^{2}}.
A expansão pedida é a expansão em série de Taylor centrada em z=0 (ou seja, x=x_{c}) até termos quadráticos. Especificamente, como a derivada primeira no ponto central será zero pela simetria, a aproximação até segunda ordem é
Comentário didático: esta expressão é exatamente a forma parabólica que melhor aproxima localmente o semi-círculo perto do topo; o termo quadrático negativo indica concavidade para baixo, e o coeficiente -\dfrac{1}{2R} mostra que quanto maior o raio R, mais “achatada” é a curvatura local (menor curvatura).