Trabalho 1. Obtivemos a aceleraçāo centrípeta em sala em termos da descriçāo vetorial do movimento circular. Entretanto, a ideia do lançamento de projéteis pode ser mais elaborada de modo a chegarmos na expressāo da aceleraçāo centrípeta de uma forma mais parecida com aquela feita por Newton.
(a) Dado que a equação da trajetória do movimento de projéteis é
Obtenha os valores de x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime} e \alpha. Pode ser útil lembrar que \sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta.
(b) Uma trajetória circular pode ser escrita como \left(x-x_{c}\right)^{2}+\left(y-y_{c}\right)^{2}=R^{2} com \left(r_{c}, y_{c}\right) sendo as coordenadas do centro da trajetória e R o raio do círculo. Pode-se, ainda, tomar apenas um semi-círculo da trajetória descrito por
(c) Compare a equação obtida no item (a) com a equasāo (5) e obtenha uma relaçāo entre g . \nu_{0} e R. O que podemos interpretar dessa relaçāo?
(d) Suponha que R é muito maior do que as dimensões típicas do problema e particularize a trajetória para x_{0}=-\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \theta}{2 g} e y_{0}=0 e obtenha o centro da trajetória como sendo
\left(x_{c}, y_{c}\right) \approx(0,-R) .
Os resultados aqui obtidos indicam o seguinte. Num movimento parabólico, se quisermos que o projétil permaneça em órbita circular initerrupta, ou seja, que o projétil entre em órbita terrestre. o rajo de curvatura da parábola no ponto da altura máxima deve ser o raio da Terra. Quando ele entra em órbita, a aceleração gravitacional faz o papel da aceleraçāo centrípeta, cuja trajetória é a de um círculo centrado no centro da Terra. Logo, g=v_{0}^{2} \cos ^{2} \theta / R é a condição de trajetória círcular, e o centro da trajetória \left(x_{c}, y_{c}\right)=(0,-R) indica o centro da Terra considerando um sistema de coordenadas cuja abcissa é nula na altura máxima. Em resumo, para se colocar um objeto em órbita, é necessário que, conforme ele realize o movimento de queda, a velocidade seja tamanha que a queda acompanha a curvatura da Terra, de modo que ele sempre cai tangenciando o planeta, entrando em órbita circular.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da trajetória do projétil (note que o enunciado usa r em alguns lugares; aqui vou assumir que isso significa a coordenada horizontal x, isto é, r\equiv x). As informações importantes são:
Pedidos:
(a) Mostrar que essa curva pode ser escrita na forma geral de uma parábola
y-y_{0}^{\prime}=\alpha\,(x-x_{0}^{\prime})^{2}
e obter x_{0}^{\prime},\,y_{0}^{\prime} e \alpha.
(b) Partindo da semi-circunferência
y(x)=y_{c}+\sqrt{R^{2}-(x-x_{c})^{2}},
aproximar y(x) nas proximidades de x=x_{c} usando expansão até a segunda derivada e mostrar que
y(x)\approx y_{c}+R-\frac{1}{2R}(x-x_{c})^{2}.
(c) Comparar as formas obtidas em (a) e (b) e obter uma relação entre g,\;v_{0} e R. Interpretar.
(d) Tomando R muito grande em relação às dimensões do problema e particularizando x_{0}=-\dfrac{v_{0}^{2}\sin 2\theta}{2g} e y_{0}=0, mostrar que o centro da trajetória fica aproximadamente
(x_{c},y_{c})\approx(0,-R).
Passo 2
Parte (a) — reorganizar a equação e completar o quadrado.
Para simplificar a notação, defino a constante positiva
A\equiv\frac{g}{2\,v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
Então a equação fica
y-y_{0}=\tan\theta\,(x-x_{0})-A\,(x-x_{0})^{2}.
Quero escrever o lado direito como uma única parábola centrada em alguma abscissa x_{0}^{\prime}. Para isso faço a técnica do completar o quadrado. Começo por fatorar -A:
Da parte (b) a aproximação do semi-círculo ao redor de x_{c} é
y-(y_{c}+R)=-\frac{1}{2R}(x-x_{c})^{2}.
Para que a parábola local (trajetória do projétil perto do ponto de altura máxima) coincida com a parábola que aproxima o círculo, os coeficientes e os centros devem ser iguais: isto é, identificar
Interpretação física (didática e direta): no ponto de altura máxima a velocidade vertical é zero e a velocidade horizontal é v_{x}=v_{0}\cos\theta. Para que, localmente, a curva do projétil “case” com uma circunferência de raio R (ou seja, para que a trajetória tenha curvatura 1/R igual à curvatura do círculo que representa a órbita), a aceleração centrípeta necessária é a_{c}=v_{x}^{2}/R. Igualando essa aceleração centrípeta com a aceleração gravitacional g obtém-se exatamente
\frac{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}{R}=g.
Ou seja: a condição para que a queda acompanhe a curvatura (entrar em órbita circular) é que a gravidade forneça exatamente a aceleração centrípeta necessária para manter o movimento circular de raio R.
Passo 6
Parte (d) — particularizar x_{0}=-\dfrac{v_{0}^{2}\sin 2\theta}{2g} e y_{0}=0 e obter (x_{c},y_{c})\approx(0,-R).
Se R é muito maior que as dimensões típicas do problema (altura máxima do projétil, etc.), e para ângulos de lançamento não muito grandes, o termo \dfrac{\tan^{2}\theta}{2} é pequeno comparado a 1. Assim o primeiro termo em y_{c} é muito menor do que R e podemos aproximar
y_{c}\approx -R.
Portanto, sob a hipótese indicada,
(x_{c},y_{c})\approx(0,-R).
Física rápida: isso corresponde ao centro da Terra em um sistema de coordenadas cuja origem em x está na abscissa do ponto de altura máxima e cuja y é nula no solo local — o centro do círculo (Terra) fica a uma distância R “abaixo” da origem, isto é em y\approx -R.