Trabalho 1. Obtivemos a aceleraçāo centrípeta em sala em termos da descriçāo vetorial do movimento circular. Entretanto, a ideia do lançamento de projéteis pode ser mais elaborada de modo a chegarmos na expressāo da aceleraçāo centrípeta de uma forma mais parecida com aquela feita por Newton.
(a) Dado que a equação da trajetória do movimento de projéteis é
y(x)=y_{0}+\tan \theta\left(x-x_{0}\right)-\frac{g\left(r-r_{0}\right)^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \theta}
mostre que ela pode ser escrita na forma geral de uma parábola. isto é,
y-y_{0}^{\prime}=\alpha\left(x-x_{0}^{\prime}\right)^{2}
Obtenha os valores de x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime} e \alpha. Pode ser útil lembrar que \sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta.
(b) Uma trajetória circular pode ser escrita como \left(x-x_{c}\right)^{2}+\left(y-y_{c}\right)^{2}=R^{2} com \left(r_{c}, y_{c}\right) sendo as coordenadas do centro da trajetória e R o raio do círculo. Pode-se, ainda, tomar apenas um semi-círculo da trajetória descrito por
y(x)=y_{c}+\sqrt{R^{2}-\left(x-x_{c}\right)^{2}} .
A trajetória acima, quando vista nas proximidades de x=x_{c}, pode ser aproximada da seguinte forma
y(x) \approx y\left(x_{c}\right)+\left.\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}^{2} y(x)}{\mathrm{d} x^{2}}\right|_{x=x_{i}}\left(x-x_{c}\right)^{2} .
Obtenha a equaçāo aproximada para o semi-círculo descrito pela equação (3) e mostre que ela tem a forma
y(x) \approx y_{c}+R-\frac{1}{2 R}\left(x-x_{c}\right)^{2} .
(c) Compare a equação obtida no item (a) com a equasāo (5) e obtenha uma relaçāo entre g . \nu_{0} e R. O que podemos interpretar dessa relaçāo?
(d) Suponha que R é muito maior do que as dimensões típicas do problema e particularize a trajetória para x_{0}=-\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \theta}{2 g} e y_{0}=0 e obtenha o centro da trajetória como sendo
\left(x_{c}, y_{c}\right) \approx(0,-R) .
Os resultados aqui obtidos indicam o seguinte. Num movimento parabólico, se quisermos que o projétil permaneça em órbita circular initerrupta, ou seja, que o projétil entre em órbita terrestre. o rajo de curvatura da parábola no ponto da altura máxima deve ser o raio da Terra. Quando ele entra em órbita, a aceleração gravitacional faz o papel da aceleraçāo centrípeta, cuja trajetória é a de um círculo centrado no centro da Terra. Logo, g=v_{0}^{2} \cos ^{2} \theta / R é a condição de trajetória círcular, e o centro da trajetória \left(x_{c}, y_{c}\right)=(0,-R) indica o centro da Terra considerando um sistema de coordenadas cuja abcissa é nula na altura máxima. Em resumo, para se colocar um objeto em órbita, é necessário que, conforme ele realize o movimento de queda, a velocidade seja tamanha que a queda acompanha a curvatura da Terra, de modo que ele sempre cai tangenciando o planeta, entrando em órbita circular.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da trajetória do projétil (note que o enunciado usa r em alguns lugares; aqui vou assumir que isso significa a coordenada horizontal x, isto é, r\equiv x). As informações importantes são:
  • Equação dada:
y(x)=y_{0}+\tan\theta\,(x-x_{0})-\frac{g\,(x-x_{0})^{2}}{2\,v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
  • Pedidos:
    (a) Mostrar que essa curva pode ser escrita na forma geral de uma parábola
    y-y_{0}^{\prime}=\alpha\,(x-x_{0}^{\prime})^{2}
    e obter x_{0}^{\prime},\,y_{0}^{\prime} e \alpha.
    (b) Partindo da semi-circunferência
    y(x)=y_{c}+\sqrt{R^{2}-(x-x_{c})^{2}},
    aproximar y(x) nas proximidades de x=x_{c} usando expansão até a segunda derivada e mostrar que
    y(x)\approx y_{c}+R-\frac{1}{2R}(x-x_{c})^{2}.
    (c) Comparar as formas obtidas em (a) e (b) e obter uma relação entre g,\;v_{0} e R. Interpretar.
    (d) Tomando R muito grande em relação às dimensões do problema e particularizando x_{0}=-\dfrac{v_{0}^{2}\sin 2\theta}{2g} e y_{0}=0, mostrar que o centro da trajetória fica aproximadamente
    (x_{c},y_{c})\approx(0,-R).

Passo 2

Parte (a) — reorganizar a equação e completar o quadrado.
  1. Para simplificar a notação, defino a constante positiva
A\equiv\frac{g}{2\,v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
Então a equação fica
y-y_{0}=\tan\theta\,(x-x_{0})-A\,(x-x_{0})^{2}.
  1. Quero escrever o lado direito como uma única parábola centrada em alguma abscissa x_{0}^{\prime}. Para isso faço a técnica do completar o quadrado. Começo por fatorar -A:
y-y_{0}=-A\left[(x-x_{0})^{2}-\frac{\tan\theta}{A}(x-x_{0})\right].
  1. Agora completo o quadrado dentro dos colchetes. Para qualquer variável u,
u^{2}-2 b u=(u-b)^{2}-b^{2}.
Aqui identifique u=(x-x_{0}) e 2b=\dfrac{\tan\theta}{A}, logo b=\dfrac{\tan\theta}{2A}. Assim
(x-x_{0})^{2}-\frac{\tan\theta}{A}(x-x_{0})=\left(x-x_{0}-\frac{\tan\theta}{2A}\right)^{2}-\left(\frac{\tan\theta}{2A}\right)^{2}.
  1. Substituindo na expressão de y-y_{0}:
y-y_{0}=-A\left(x-x_{0}-\frac{\tan\theta}{2A}\right)^{2}+A\left(\frac{\tan\theta}{2A}\right)^{2}.
  1. Reescrevo na forma desejada y-y_{0}^{\prime}=\alpha\,(x-x_{0}^{\prime})^{2}. Comparando termos, identifico
\alpha=-A=-\frac{g}{2\,v_{0}^{2}\cos^{2}\theta},
x_{0}^{\prime}=x_{0}+\frac{\tan\theta}{2A}.
e
y_{0}^{\prime}=y_{0}+A\left(\frac{\tan\theta}{2A}\right)^{2}.
  1. Simplifico x_{0}^{\prime} e y_{0}^{\prime} em termos de funções trigonométricas mais simples. Para x_{0}^{\prime}:
\frac{\tan\theta}{2A}=\frac{\tan\theta}{2\cdot\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}} =\tan\theta\cdot\frac{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}{g} =\frac{v_{0}^{2}\sin\theta\cos\theta}{g}.
Usando a identidade \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta obtenho
\frac{v_{0}^{2}\sin\theta\cos\theta}{g}=\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta.
Portanto
x_{0}^{\prime}=x_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta.
  1. Para y_{0}^{\prime}:
A\left(\frac{\tan\theta}{2A}\right)^{2}=\frac{1}{4A}\tan^{2}\theta =\frac{\tan^{2}\theta}{4}\cdot\frac{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}{g} =\frac{v_{0}^{2}}{2g}\tan^{2}\theta\cos^{2}\theta.
Mas \tan^{2}\theta\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta. Logo
y_{0}^{\prime}=y_{0}+\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}.
Assim a forma vértice da parábola fica
y-y_{0}^{\prime}=\alpha\,(x-x_{0}^{\prime})^{2}
com as expressões encontradas acima.

Passo 3

Resumo explícito das quantidades obtidas em (a):
\alpha=-\frac{g}{2\,v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}, \qquad x_{0}^{\prime}=x_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta, \qquad y_{0}^{\prime}=y_{0}+\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}.

Passo 4

Parte (b) — aproximar o semi-círculo por Taylor até a segunda ordem em torno de x=x_{c}.
  1. A função dada é
y(x)=y_{c}+\sqrt{R^{2}-(x-x_{c})^{2}}.
Defino u(x)=\sqrt{R^{2}-(x-x_{c})^{2}} para derivar com clareza.
  1. Primeira derivada (regra da cadeia):
u'(x)=\frac{1}{2}\big(R^{2}-(x-x_{c})^{2}\big)^{-1/2}\cdot(-2)(x-x_{c}) =-\frac{x-x_{c}}{\sqrt{R^{2}-(x-x_{c})^{2}}}.
No ponto x=x_{c} tem-se u'(x_{c})=0, como era de esperar (tangente horizontal no topo).
  1. Segunda derivada (derivando u'(x); usar produto/quotient rule ou diferenciar explicitamente):
u''(x)=-\frac{d}{dx}\left[(x-x_{c})\big(R^{2}-(x-x_{c})^{2}\big)^{-1/2}\right].
Aplicando a regra do produto e simplificando obtém-se (passos algébricos diretos)
u''(x)=-\big(R^{2}-(x-x_{c})^{2}\big)^{-1/2}-\frac{(x-x_{c})^{2}}{\big(R^{2}-(x-x_{c})^{2}\big)^{3/2}} =-\frac{R^{2}}{\big(R^{2}-(x-x_{c})^{2}\big)^{3/2}}.
Avaliando em x=x_{c} (onde o denominador vale R^{3}):
u''(x_{c})=-\frac{R^{2}}{R^{3}}=-\frac{1}{R}.
  1. A expansão de Taylor centrada em x_{c} até segunda ordem é
y(x)\approx y(x_{c})+\frac{1}{2}u''(x_{c})\,(x-x_{c})^{2}.
Como y(x_{c})=y_{c}+R e u''(x_{c})=-\dfrac{1}{R}, resulta
y(x)\approx y_{c}+R+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{R}\right)(x-x_{c})^{2} = y_{c}+R-\frac{1}{2R}(x-x_{c})^{2}.
Isso é exatamente a forma pedida.

Passo 5

Parte (c) — comparar as formas de (a) e (b) e obter a relação entre g,\;v_{0} e R.
  1. Da parte (a) a parábola no vértice é
y-y_{0}^{\prime}=\alpha\,(x-x_{0}^{\prime})^{2}, \qquad \alpha=-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
  1. Da parte (b) a aproximação do semi-círculo ao redor de x_{c} é
y-(y_{c}+R)=-\frac{1}{2R}(x-x_{c})^{2}.
  1. Para que a parábola local (trajetória do projétil perto do ponto de altura máxima) coincida com a parábola que aproxima o círculo, os coeficientes e os centros devem ser iguais: isto é, identificar
\alpha=-\frac{1}{2R},\qquad x_{0}^{\prime}=x_{c},\qquad y_{0}^{\prime}=y_{c}+R.
  1. Igualando os \alpha:
-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}=-\frac{1}{2R} \quad\Rightarrow\quad \frac{g}{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}=\frac{1}{R}.
Multiplicando,
g=\frac{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}{R}.
Interpretação física (didática e direta): no ponto de altura máxima a velocidade vertical é zero e a velocidade horizontal é v_{x}=v_{0}\cos\theta. Para que, localmente, a curva do projétil “case” com uma circunferência de raio R (ou seja, para que a trajetória tenha curvatura 1/R igual à curvatura do círculo que representa a órbita), a aceleração centrípeta necessária é a_{c}=v_{x}^{2}/R. Igualando essa aceleração centrípeta com a aceleração gravitacional g obtém-se exatamente
\frac{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}{R}=g.
Ou seja: a condição para que a queda acompanhe a curvatura (entrar em órbita circular) é que a gravidade forneça exatamente a aceleração centrípeta necessária para manter o movimento circular de raio R.

Passo 6

Parte (d) — particularizar x_{0}=-\dfrac{v_{0}^{2}\sin 2\theta}{2g} e y_{0}=0 e obter (x_{c},y_{c})\approx(0,-R).
  1. Usando os resultados de (a) temos
x_{0}^{\prime}=x_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta,\qquad y_{0}^{\prime}=y_{0}+\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}.
  1. Substituindo x_{0}=-\dfrac{v_{0}^{2}\sin 2\theta}{2g} e y_{0}=0:
x_{0}^{\prime}=-\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta+\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta=0.
Logo x_{c}=x_{0}^{\prime}=0.
  1. Para y_{c}, lembrar da identificação feita em (c): y_{0}^{\prime}=y_{c}+R. Assim
y_{c}=y_{0}^{\prime}-R=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}-R.
  1. Usando a relação de (c) g=\dfrac{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}{R} (ou seja v_{0}^{2}=\dfrac{gR}{\cos^{2}\theta}) podemos escrever
\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}=R\cdot\frac{\tan^{2}\theta}{2}.
Portanto
y_{c}=R\left(\frac{\tan^{2}\theta}{2}-1\right).
  1. Se R é muito maior que as dimensões típicas do problema (altura máxima do projétil, etc.), e para ângulos de lançamento não muito grandes, o termo \dfrac{\tan^{2}\theta}{2} é pequeno comparado a 1. Assim o primeiro termo em y_{c} é muito menor do que R e podemos aproximar
y_{c}\approx -R.
Portanto, sob a hipótese indicada,
(x_{c},y_{c})\approx(0,-R).
Física rápida: isso corresponde ao centro da Terra em um sistema de coordenadas cuja origem em x está na abscissa do ponto de altura máxima e cuja y é nula no solo local — o centro do círculo (Terra) fica a uma distância R “abaixo” da origem, isto é em y\approx -R.

Resposta

(a) \displaystyle x_{0}^{\prime}=x_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2g}\sin 2\theta,\quad y_{0}^{\prime}=y_{0}+\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g},\quad \alpha=-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
(b) \displaystyle y(x)\approx y_{c}+R-\frac{1}{2R}(x-x_{c})^{2}.
(c) \displaystyle g=\frac{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}{R}. (Interpretação: g deve igualar a aceleração centrípeta v_{x}^{2}/R com v_{x}=v_{0}\cos\theta.)
(d) \displaystyle (x_{c},y_{c})\approx(0,-R).

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