Um bloco retangular de concreto
in (espessura) está no fundo de um lago de 23 ft de profundidade, com metade de sua face de 6 in enterrada no fundo (contato com o leito). O concreto pesa
.
(a) Qual é a força mínima vertical necessária para desprender o bloco do fundo (isto é, iniciar o movimento de saída do contato)?
(b) Uma vez livre do fundo, qual é a força necessária para mantê-lo nessa posição (em repouso sob a água)?
(a) Qual é a força mínima vertical necessária para desprender o bloco do fundo (isto é, iniciar o movimento de saída do contato)?
(b) Uma vez livre do fundo, qual é a força necessária para mantê-lo nessa posição (em repouso sob a água)?
Passo 1
O enunciado dá um bloco retangular de concreto com dimensões
(a espessura de
é a dimensão vertical do bloco). O lago tem profundidade
. Diz que metade da face de
está enterrada no leito — isto é,
do bloco estão embutidos no sedimento e os restantes
ficam sobre o leito, mas ainda sob a água. O concreto pesa
.
O que se pede:
(a) a força vertical mínima (para cima) necessária para iniciar o descolamento do bloco do fundo (iniciar a saída do contato com o leito);
(b) uma vez livre do fundo, qual força é necessária para mantê‑lo nessa posição (em repouso sob a água).
O que se pede:
(a) a força vertical mínima (para cima) necessária para iniciar o descolamento do bloco do fundo (iniciar a saída do contato com o leito);
(b) uma vez livre do fundo, qual força é necessária para mantê‑lo nessa posição (em repouso sob a água).
Lista de dados importantes (retomando em forma matemática):
Passo 2
Calcular a área da face e o volume do bloco — isso é necessário para forças que agem sobre faces e para peso/empuxo.
Área da face horizontal (plano superior ou inferior):
Área da face horizontal (plano superior ou inferior):
Volume do bloco:
Explicação didática: o volume é simplesmente a área da base vezes a altura (espessura). Aqui a base é
e a “altura” é
.
Passo 3
Calcular o peso do bloco (força gravitacional para baixo). Fórmula:
onde
é o peso por unidade de volume (em unidades de força por volume). Então:
Comentário prático: esse é o peso no ar; debaixo d’água ele continua pesando esse valor, mas o fluido aplica empuxo que reduz o efeito líquido.
Passo 4
Determinar a profundidade da face superior do bloco (a face voltada para a superfície) — preciso do valor para calcular a pressão hidrostática sobre essa face antes de iniciar o descolamento. Como
do bloco estão enterrados no leito, a face superior do bloco está a uma profundidade
Explicação: o leito está a
da superfície; como metade da espessura (
) está embutida para dentro do sedimento, a superfície superior do bloco fica
acima do leito, portanto a essa profundidade abaixo da superfície da água.
Passo 5
Calcular a pressão hidrostática sobre a face superior (antes do descolamento). Fórmula da pressão hidrostática:
onde
e
é a profundidade. Logo
Força hidrostática total sobre a face superior (direção para baixo) é pressão média vezes área (a pressão é praticamente uniforme sobre essa face plana):
Didática: a água exerce uma enorme força para baixo sobre a face superior, proporcional à profundidade; essa é a razão de o esforço para desprender algo do fundo ser tão grande inicialmente.
Passo 6
Analisar o equilíbrio vertical imediatamente antes do descolamento e obter a força mínima necessária para iniciar o descolamento. Fazer um diagrama de forças verticais enquanto o bloco está em contato com o leito:
- para cima: a reação do leito
e a força aplicada (esta é a força que queremos achar); - para baixo: o peso
e a força hidrostática sobre a face superior .
Equilíbrio vertical:
Para iniciar o descolamento do leito, a reação
deve cair a zero (o leito deixa de empurrar para cima). Portanto a força mínima
que torna
é
Explicação física: enquanto o bloco está bem apoiado, o leito suporta parte do peso e das forças hidrostáticas. Para que o bloco perca contato, a força aplicada deve anular toda a carga que o leito estava sustentando — que inclui o próprio peso mais a pressão da água que pressiona para baixo a face superior.
Passo 7
Substituir números para obter
. Usando os valores calculados:
Arredondando razoavelmente:
Comentário motivador: esse número é grande justamente por causa da pressão hidrostática profunda sobre a grande área do bloco — por isso arrancar objetos do fundo em profundidade costuma exigir muito esforço inicial.
Passo 8
Calcular o empuxo (força de Arquimedes) quando o bloco estiver livre e totalmente imerso. A fórmula do empuxo:
onde
é o volume do corpo submerso (aqui todo o bloco está submerso). Assim
A interpretação: uma vez que a água pode atuar tanto por cima quanto por baixo da peça, surge a força de empuxo para cima igual ao peso do fluido deslocado.
Passo 9
Determinar a força necessária para mantê‑lo em repouso sob a água uma vez livre do leito. Agora o equilíbrio vertical, quando o bloco está livre e a água exerce empuxo por baixo, é:
Aqui
é a força vertical adicional para cima que precisamos aplicar para equilibrar (se quisermos mantê‑lo “suspenso” sem que ele afunde). Rearranjando:
Substituindo valores:
Interpretação: como o peso excede o empuxo, o bloco tem peso líquido para baixo de cerca de
; portanto é essa força para cima que preciso aplicar para segurá‑lo em repouso (se eu aplicar menos, ele afunda; se eu aplicar mais, ele sobe).