Um bloco retangular de concreto 3 \mathrm{ft} \times 3 \mathrm{ft} \times 6 in (espessura) está no fundo de um lago de 23 ft de profundidade, com metade de sua face de 6 in enterrada no fundo (contato com o leito). O concreto pesa 150 \mathrm{lb} / \mathrm{ft}^{3}.
(a) Qual é a força mínima vertical necessária para desprender o bloco do fundo (isto é, iniciar o movimento de saída do contato)?
(b) Uma vez livre do fundo, qual é a força necessária para mantê-lo nessa posição (em repouso sob a água)?

Passo 1

O enunciado dá um bloco retangular de concreto com dimensões 3\\ \mathrm{ft}\times 3\\ \mathrm{ft}\times 6\\ \mathrm{in} (a espessura de 6\\ \mathrm{in} é a dimensão vertical do bloco). O lago tem profundidade 23\\ \mathrm{ft}. Diz que metade da face de 6\\ \mathrm{in} está enterrada no leito — isto é, 3\\ \mathrm{in}=0,25\\ \mathrm{ft} do bloco estão embutidos no sedimento e os restantes 0,25\\ \mathrm{ft} ficam sobre o leito, mas ainda sob a água. O concreto pesa 150\\ \mathrm{lb/ft}^3.
O que se pede:
(a) a força vertical mínima (para cima) necessária para iniciar o descolamento do bloco do fundo (iniciar a saída do contato com o leito);
(b) uma vez livre do fundo, qual força é necessária para mantê‑lo nessa posição (em repouso sob a água).
Lista de dados importantes (retomando em forma matemática):
\text{dimensões: }3\\ \mathrm{ft}\times 3\\ \mathrm{ft}\times 6\\ \mathrm{in}=3\\ \mathrm{ft}\times3\\ \mathrm{ft}\times 0{,}5\\ \mathrm{ft}õ
\text{metade enterrada: }0{,}25\\ \mathrm{ft} \text{ (profundidade de enterro)}
\text{profundidade do leito (superfície até leito): }23\\ \mathrm{ft}íé
\text{densidade do concreto: }150\\ \mathrm{lb/ft}^3,\qquad \text{peso específico da água: }\gamma=62{,}4\\ \mathrm{lb/ft}^3.íá

Passo 2

Calcular a área da face e o volume do bloco — isso é necessário para forças que agem sobre faces e para peso/empuxo.
Área da face horizontal (plano superior ou inferior):
A = 3\\ \mathrm{ft}\times 3\\ \mathrm{ft} = 9\\ \mathrm{ft}^2.
Volume do bloco:
V = A \times \text{espessura} = 9\\ \mathrm{ft}^2 \times 0{,}5\\ \mathrm{ft} = 4{,}5\\ \mathrm{ft}^3.
Explicação didática: o volume é simplesmente a área da base vezes a altura (espessura). Aqui a base é 3\times3 e a “altura” é 0{,}5\\ \mathrm{ft}.

Passo 3

Calcular o peso do bloco (força gravitacional para baixo). Fórmula:
W = \rho_{\text{concreto}}\cdot V,
onde \rho_{\text{concreto}}=150\\ \mathrm{lb/ft}^3 é o peso por unidade de volume (em unidades de força por volume). Então:
W = 150\\ \mathrm{lb/ft}^3 \times 4{,}5\\ \mathrm{ft}^3 = 675\\ \mathrm{lb}.
Comentário prático: esse é o peso no ar; debaixo d’água ele continua pesando esse valor, mas o fluido aplica empuxo que reduz o efeito líquido.

Passo 4

Determinar a profundidade da face superior do bloco (a face voltada para a superfície) — preciso do valor para calcular a pressão hidrostática sobre essa face antes de iniciar o descolamento. Como 0{,}25\\ \mathrm{ft} do bloco estão enterrados no leito, a face superior do bloco está a uma profundidade
h_{\text{top}} = 23\\ \mathrm{ft} - 0{,}25\\ \mathrm{ft} = 22{,}75\\ \mathrm{ft}.
Explicação: o leito está a 23\\ \mathrm{ft} da superfície; como metade da espessura ( 0{,}25\\ \mathrm{ft}) está embutida para dentro do sedimento, a superfície superior do bloco fica 0{,}25\\ \mathrm{ft} acima do leito, portanto a essa profundidade abaixo da superfície da água.

Passo 5

Calcular a pressão hidrostática sobre a face superior (antes do descolamento). Fórmula da pressão hidrostática:
p = \gamma\, h,
onde \gamma=62{,}4\\ \mathrm{lb/ft}^3 e h é a profundidade. Logo
p_{\text{top}} = 62{,}4\\ \mathrm{lb/ft}^3 \times 22{,}75\\ \mathrm{ft} = 1\,419{,}6\\ \mathrm{lb/ft}^2.
Força hidrostática total sobre a face superior (direção para baixo) é pressão média vezes área (a pressão é praticamente uniforme sobre essa face plana):
F_{\text{top}} = p_{\text{top}}\cdot A = 1\,419{,}6\\ \mathrm{lb/ft}^2 \times 9\\ \mathrm{ft}^2 = 12\,776{,}4\\ \mathrm{lb}.
Didática: a água exerce uma enorme força para baixo sobre a face superior, proporcional à profundidade; essa é a razão de o esforço para desprender algo do fundo ser tão grande inicialmente.

Passo 6

Analisar o equilíbrio vertical imediatamente antes do descolamento e obter a força mínima necessária para iniciar o descolamento. Fazer um diagrama de forças verticais enquanto o bloco está em contato com o leito:
  • para cima: a reação do leito R e a força aplicada P (esta é a força que queremos achar);
  • para baixo: o peso W e a força hidrostática sobre a face superior F_{\text{top}}.
    Equilíbrio vertical:
R + P = W + F_{\text{top}}.
Para iniciar o descolamento do leito, a reação R deve cair a zero (o leito deixa de empurrar para cima). Portanto a força mínima P_{\min} que torna R=0 é
P_{\min} = W + F_{\text{top}}.
Explicação física: enquanto o bloco está bem apoiado, o leito suporta parte do peso e das forças hidrostáticas. Para que o bloco perca contato, a força aplicada deve anular toda a carga que o leito estava sustentando — que inclui o próprio peso mais a pressão da água que pressiona para baixo a face superior.

Passo 7

Substituir números para obter P_{\min}. Usando os valores calculados:
P_{\min} = 675\\ \mathrm{lb} + 12\,776{,}4\\ \mathrm{lb} = 13\,451{,}4\\ \mathrm{lb}.
Arredondando razoavelmente:
P_{\min}\approx 1{,}35\times 10^{4}\\ \mathrm{lb}.
Comentário motivador: esse número é grande justamente por causa da pressão hidrostática profunda sobre a grande área do bloco — por isso arrancar objetos do fundo em profundidade costuma exigir muito esforço inicial.

Passo 8

Calcular o empuxo (força de Arquimedes) quando o bloco estiver livre e totalmente imerso. A fórmula do empuxo:
F_b = \gamma_{\text{água}}\cdot V,á
onde V é o volume do corpo submerso (aqui todo o bloco está submerso). Assim
F_b = 62{,}4\\ \mathrm{lb/ft}^3 \times 4{,}5\\ \mathrm{ft}^3 = 280{,}8\\ \mathrm{lb}.
A interpretação: uma vez que a água pode atuar tanto por cima quanto por baixo da peça, surge a força de empuxo para cima igual ao peso do fluido deslocado.

Passo 9

Determinar a força necessária para mantê‑lo em repouso sob a água uma vez livre do leito. Agora o equilíbrio vertical, quando o bloco está livre e a água exerce empuxo por baixo, é:
P_{\text{manter}} + F_b = W.
Aqui P_{\text{manter}} é a força vertical adicional para cima que precisamos aplicar para equilibrar (se quisermos mantê‑lo “suspenso” sem que ele afunde). Rearranjando:
P_{\text{manter}} = W - F_b.
Substituindo valores:
P_{\text{manter}} = 675\\ \mathrm{lb} - 280{,}8\\ \mathrm{lb} = 394{,}2\\ \mathrm{lb}.
Interpretação: como o peso excede o empuxo, o bloco tem peso líquido para baixo de cerca de 394{,}2\\ \mathrm{lb}; portanto é essa força para cima que preciso aplicar para segurá‑lo em repouso (se eu aplicar menos, ele afunda; se eu aplicar mais, ele sobe).

Resposta

P_{\min}\approx 1{,}345\times 10^{4}\\ \mathrm{lb} (força mínima para iniciar o descolamento).
P_{\text{manter}}=394{,}2\\ \mathrm{lb} (força para mantê‑lo em repouso sob a água).

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