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{
}^{
{a}
}
QUESTÃO. Uma camada de argila de 3,75 \mathrm{~m} no campo (drenado de um lado) [e normalmente adensado. Quando a pressão for aumentada de 50 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2} a 150 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}, o índice de vazios diminui de 0,9 a 0,75 . A condutividade hidráulica, k , da argila para a faixa de carregamento acima foi determinada em 6 \times 10-7 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}.
a) Quanto tempo (em dias) levará para a camada de argila alcançar 50% do adensamento?
b) Qual o recalque naquele momento (ou seja, em 50 \% do adensamento)?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para uma camada de argila de espessura 3{,}75\\ \mathrm{m}, drenada de um lado (ou seja, escoamento de água apenas por uma face):
  • (a) o tempo (em dias) para atingir 50\% do adensamento (grau de adensamento U=0{,}5);
  • (b) o recalque (assentamento) correspondente a esse 50\%.
Dados fornecidos (vou listar e já converter quando necessário):
  • Espessura da camada: \;H=3{,}75\\ \mathrm{m}.
  • Condição de drenagem: drenado de um lado (apenas uma face permeável).
  • Pressão efetiva aumentou de 50\\ \mathrm{kN/m^2} para 150\\ \mathrm{kN/m^2}. Logo a variação de tensão efetiva é
\Delta\sigma' = 150 - 50 = 100\\ \mathrm{kN/m^2}.
  • Índice de vazios inicial e_0 = 0{,}9 e final (após carregamento) e_1 = 0{,}75.
  • Condutividade hidráulica dada: \;k = 6\times 10^{-7}\\ \mathrm{cm/s}. (vou converter para SI na próxima etapa).
  • Vamos usar o peso específico da água \gamma_w = 9{,}81\\ \mathrm{kN/m^3} (valor padrão).

Passo 2

Primeiro precisamos calcular a compressibilidade volumétrica m_v. Conceito curto e amigo: m_v diz quanto a amostra “aperta” (deformação volumétrica por unidade de tensão) — é a razão entre a deformação volumétrica e a variação de tensão.
Relação entre variação do índice de vazios e deformação vertical:
  • A variação de índice de vazios \Delta e = e_1 - e_0 = -0{,}15.
  • A deformação volumétrica unidimensional (adensamento vertical) pode ser relacionada por
\varepsilon_v = -\frac{\Delta e}{1+e_0}.
Note: o sinal menos aparece porque uma diminuição de e corresponde a contracção (sinal negativo de deformação volumétrica); para calcular m_v usamos valores absolutos.
A definição de m_v é
m_v = \frac{\varepsilon_v}{\Delta\sigma'} = \frac{-\Delta e}{(1+e_0)\,\Delta\sigma'}.
Agora calculamos numericamente:
\Delta e = 0{,}75 - 0{,}9 = -0{,}15,
m_v = \frac{0{,}15}{(1+0{,}9)\times 100} = \frac{0{,}15}{1{,}9\times 100}.
Faço as contas:
m_v = \frac{0{,}15}{190} = 0{,}0007894736842\\ \mathrm{m^2/kN}.
Expliquei: m_v tem a unidade \mathrm{m^2/kN} porque \Delta\sigma' estava em \mathrm{kN/m^2}.

Passo 3

Precisamos do coeficiente de consolidação c_v. Fórmula padrão (Terzaghi) que liga permeabilidade k, compressibilidade m_v e peso específico da água \gamma_w é:
c_v = \frac{k}{m_v\,\gamma_w}.
Antes de usar, converto k para unidades SI (m/s). Dado k = 6\times 10^{-7}\\ \mathrm{cm/s}. Como 1\\ \mathrm{cm} = 0{,}01\\ \mathrm{m},
k = 6\times 10^{-7}\\ \mathrm{cm/s} \times 0{,}01\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{cm}} = 6\times 10^{-9}\\ \mathrm{m/s}.
Agora calculo c_v:
m_v\,\gamma_w = 0{,}0007894736842 \times 9{,}81 = 0{,}00774473\\ (\text{unidade } \mathrm{1/m}).
c_v = \frac{6\times 10^{-9}}{0{,}00774473} \approx 7{,}747\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
Interpretação rápida: c_v é a “velocidade” efetiva de adensamento (m^2/s) — quanto maior c_v, mais rápido adensa.

Passo 4

Agora calculamos o tempo para atingir U=50\%. Teoria e escolha do método:
  • Em consolidação unidimensional usa-se o fator adimensional de tempo T_v definido por
T_v = \frac{c_v\,t}{L^2},
onde L é o caminho máximo de drenagem (distância que a água precisa percorrer até a superfície drenante). Para camada drenada de um lado, o caminho máximo de drenagem é a espessura total:
L = H = 3{,}75\\ \mathrm{m}.
  • Em tabelas ou soluções clássicas de Terzaghi o valor de T_v associado a U=50\% é aproximadamente
T_v(U=0{,}5) \approx 0{,}197.
Observação importante (pra você fazer na prova): o valor 0{,}197 é o valor padrão para o fator de tempo correspondente a 50\% de adensamento quando T_v é calculado com L definido como o caminho máximo de drenagem — portanto podemos usar diretamente.
Usamos então a fórmula invertida para o tempo t:
t = \frac{T_v\,L^2}{c_v}.
Substituindo números:
L^2 = (3{,}75)^2 = 14{,}0625\\ \mathrm{m^2},
T_v\,L^2 = 0{,}197 \times 14{,}0625 = 2{,}7703125.
t = \frac{2{,}7703125}{7{,}747\times 10^{-7}}\\ \mathrm{s} \approx 3{,}574\times 10^{6}\\ \mathrm{s}.
Converto para dias: 1\\ \text{dia}=86400\\ \mathrm{s},
t \approx \frac{3{,}574\times 10^{6}}{86400} \approx 41{,}38\\ \text{dias}.
Arredondando razoavelmente, o tempo para 50\% de adensamento é aproximadamente 41{,}4 dias.

Passo 5

Agora o recalque (assentamento) em 50\% do adensamento.
Primeiro o assentamento total (quando toda a variação de índice de vazios \Delta e se consumasse) é dado por
S_{\text{total}} = H\cdot\frac{\Delta e}{1+e_0},
onde usamos \Delta e = e_0-e_1 = 0{,}15. (Aqui a fórmula já dá um valor positivo para o assentamento.)
Substituo:
S_{\text{total}} = 3{,}75 \times \frac{0{,}15}{1{,}9} = 3{,}75 \times 0{,}0789473684 \approx 0{,}29605\\ \mathrm{m}.
Isso é 296{,}05\\ \mathrm{mm}.
O recalque em 50\% é metade disso:
S_{50\%} = 0{,}5 \times S_{\text{total}} = 0{,}5\times 0{,}29605 \approx 0{,}14803\\ \mathrm{m}.
Isso é 148{,}03\\ \mathrm{mm}.

Resposta

t \approx 41{,}4\\ \text{dias}
S_{50\%} \approx 0{,}148\\ \mathrm{m} (ou 148\\ \mathrm{mm})

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