Considere uma parede de proteção para um reator nuclear. A parede recebe um fluxo de raios gama de modo que o calor seja gerado dentro da parede de acordo com a relação
\dot{q}=\dot{q}_{0} e^{-a x}
onde qo é a geração de calor na face interna da parede exposta ao fluxo de raio gama e a é uma constante. Usando esta relação para geração de calor, deduza uma expressão para a distribuição de temperatura em uma parede de espessura L, onde o interior e o exterior as temperaturas são mantidas em Ti e To, respectivamente. Obtenha também uma expressão para a temperatura máxima na parede.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Deduzir uma expressão para a distribuição de temperatura ao longo da espessura da parede de espessura \,L\,, dada a geração de calor volumétrica dependente de x
\dot{q}(x)=\dot{q}_{0}e^{-a x},
com as temperaturas fixas nas faces: temperatura na face interna (em x=0) igual a \,T_i, e na face externa (em x=L) igual a \,T_o.
  • Obter também uma expressão para a temperatura máxima na parede.
Informações relevantes fornecidas:
  • Geração volumétrica: \dot{q}(x)=\dot{q}_{0}e^{-a x}, com \dot{q}_{0} e a constantes.
  • Espessura da parede: \,L.
  • Condições de contorno (temperaturas conhecidas): \,T(0)=T_i e \,T(L)=T_o.
  • O enunciado não dá a condutividade térmica; vamos assumir que a condutividade térmica é constante e igual a \,k (parâmetro físico a ser mantido na fórmula).
  • Objetivo final: encontrar \,T(x) para 0\le x\le L e a temperatura máxima \,T_{\max} (com indicação da posição onde ocorre, se for no interior).

Passo 2

Equacionamento físico (balanço de energia e lei de Fourier) e obtenção da equação diferencial:
  • Lei de Fourier em 1D: o fluxo de calor em x é \,q_x=-k\,\dfrac{dT}{dx}, com k constante.
  • Balanço de energia em regime permanente, para um elemento diferencial entre x e x+dx: entrada menos saída de fluxo mais geração interna = 0. Em forma diferencial:
\frac{d q_x}{dx} + \dot{q}(x)=0.
  • Substituindo q_x=-k\,\dfrac{dT}{dx} e k constante obtemos
\frac{d}{dx}\!\Big(-k\frac{dT}{dx}\Big)+\dot{q}(x)=0 \quad\Rightarrow\quad -k\frac{d^2T}{dx^2}+\dot{q}(x)=0.
  • Isolando a segunda derivada:
\frac{d^2T}{dx^2}=-\frac{\dot{q}(x)}{k}.
  • Substituindo a geração \dot{q}(x)=\dot{q}_{0}e^{-a x} resulta
\frac{d^2T}{dx^2}=-\frac{\dot{q}_{0}}{k}e^{-a x}.
Aqui explique: a equação acima é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea; para obter T(x) integraremos duas vezes e aplicaremos as condições de contorno.

Passo 3

Integração da equação diferencial (primeira integração):
  • Partimos de
\frac{d^2T}{dx^2}=-\frac{\dot{q}_{0}}{k}e^{-a x}.
  • Integramos em relação a x para obter T'(x):
\frac{dT}{dx}=\int -\frac{\dot{q}_{0}}{k}e^{-a x}\,dx = -\frac{\dot{q}_{0}}{k}\cdot\Big(-\frac{1}{a}e^{-a x}\Big)+C_{1}
onde C_{1} é a constante de integração. Simplificando:
\frac{dT}{dx}=\frac{\dot{q}_{0}}{k a}e^{-a x}+C_{1}.
Explanação didática: ao integrar e^{-a x} obtemos -\dfrac{1}{a}e^{-a x}; o sinal menos na integral cancela o sinal inicial, daí o termo positivo \dfrac{\dot{q}_{0}}{k a}e^{-a x}.

Passo 4

Segunda integração para obter T(x):
  • Integramos T'(x):
T(x)=\int\Big(\frac{\dot{q}_{0}}{k a}e^{-a x}+C_{1}\Big)\,dx = \frac{\dot{q}_{0}}{k a}\Big(-\frac{1}{a}e^{-a x}\Big) + C_{1}x + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.
  • Simplificando:
T(x)=-\frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}}e^{-a x} + C_{1}x + C_{2}.
Comentário prático: agora aplicaremos as condições de contorno para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 5

Aplicação das condições de contorno para determinar C_{1} e C_{2}:
  • Em x=0: T(0)=T_i. Substituindo:
T_i = -\frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}}e^{0} + C_{1}\cdot 0 + C_{2} = -\frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}} + C_{2}.
Portanto
C_{2}=T_i+\frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}}.
  • Em x=L: T(L)=T_o. Substituindo T(x) com C_{2}:
T_o = -\frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}}e^{-a L} + C_{1}L + T_i+\frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}}.
Rearranjando para C_{1}:
C_{1}L = T_o - T_i -\frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}}\big(1-e^{-a L}\big),
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C_{1}=\frac{T_o-T_i}{L} - \frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}L}\big(1-e^{-a L}\big).
Interpretação: C_{1} é a contribuição linear (pendente média) corrigida pelo efeito da geração distribuída.

Passo 6

Expressão final para a distribuição de temperatura T(x) (colocando C_1 e C_2):
  • Substituindo C_{1} e C_{2} em T(x)=-\dfrac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}}e^{-a x} + C_{1}x + C_{2} obtemos, após agrupar termos,
T(x)=T_i + C_{1}x + \frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}}\big(1-e^{-a x}\big),
onde
C_{1}=\frac{T_o-T_i}{L} - \frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}L}\big(1-e^{-a L}\big).
Uma forma alternativa, toda em termos dos parâmetros do problema:
T(x)=T_i + \frac{T_o-T_i}{L}\,x + \frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}}\Big[\,1-e^{-a x}-\frac{1-e^{-a L}}{L}\,x\Big].
Explicação prática: a primeira parcela T_i+\dfrac{T_o-T_i}{L}x é a solução linear sem geração; o termo com \dot{q}_{0} corrige essa solução devido à geração volumétrica decrescente.

Passo 7

Determinação da posição do máximo e da temperatura máxima:
  • Derivada de T(x):
\frac{dT}{dx}=C_{1}+\frac{\dot{q}_{0}}{k a}e^{-a x}.
  • Um ponto crítico no interior satisfaz \dfrac{dT}{dx}=0. Assim, resolvendo para x:
C_{1}+\frac{\dot{q}_{0}}{k a}e^{-a x}=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{-a x}=-\frac{C_{1}k a}{\dot{q}_{0}}.
Como e^{-a x}>0, para existir um ponto crítico interno é necessário que o lado direito seja positivo, ou seja C_{1}<0 e -\dfrac{C_{1}k a}{\dot{q}_{0}}\in(0,1]. Se essa condição não for satisfeita, então não há extremum interno e a temperatura máxima será a maior entre T(0)=T_i e T(L)=T_o.
  • Quando o extremo interno existe, a posição onde ocorre (denotada \,x_{\max}) é
x_{\max}=-\frac{1}{a}\ln\!\Big(-\frac{C_{1}k a}{\dot{q}_{0}}\Big),
com C_{1} dado acima.
  • Agora a temperatura máxima \,T_{\max}=T(x_{\max}). Usando a relação e^{-a x_{\max}}=-\dfrac{C_{1}k a}{\dot{q}_{0}} podemos simplificar a substituição. Substituindo em
T(x)=T_i + C_{1}x + \frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}}\big(1-e^{-a x}\big)
e avaliando em x_{\max} obtemos, após simplificação,
T_{\max}=T_i + \frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}} + \frac{C_{1}}{a}\Big(1-\ln\!\big(-\tfrac{C_{1}k a}{\dot{q}_{0}}\big)\Big),
válida quando o ponto crítico interno existe (isto é, quando C_{1}<0 e 0<-\dfrac{C_{1}k a}{\dot{q}_{0}}\le 1). Caso contrário, T_{\max}=\max\{T_i,T_o\}.

Resposta

T(x)=T_i + \frac{T_o-T_i}{L}\,x + \frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}}\Big[\,1-e^{-a x}-\frac{1-e^{-a L}}{L}\,x\Big]
x_{\max}=-\frac{1}{a}\ln\!\Big(-\frac{C_{1}k a}{\dot{q}_{0}}\Big), \quad\text{com}\quad C_{1}=\frac{T_o-T_i}{L} - \frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}L}\big(1-e^{-a L}\big)
T_{\max}=T_i + \frac{\dot{q}_{0}}{k a^{2}} + \frac{C_{1}}{a}\Big(1-\ln\!\big(-\tfrac{C_{1}k a}{\dot{q}_{0}}\big)\Big),
quando o extremo interno existe (isto é, C_{1}<0 e 0<-\tfrac{C_{1}k a}{\dot{q}_{0}}\le 1); caso contrário T_{\max}=\max\{T_i,T_o\}.

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