Considere uma parede de proteção para um reator nuclear. A parede recebe um fluxo de raios gama de modo que o calor seja gerado dentro da parede de acordo com a relação
onde qo é a geração de calor na face interna da parede exposta ao fluxo de raio gama e a é uma constante. Usando esta relação para geração de calor, deduza uma expressão para a distribuição de temperatura em uma parede de espessura
, onde o interior e o exterior as temperaturas são mantidas em Ti e To, respectivamente. Obtenha também uma expressão para a temperatura máxima na parede.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Deduzir uma expressão para a distribuição de temperatura ao longo da espessura da parede de espessura
, dada a geração de calor volumétrica dependente de
com as temperaturas fixas nas faces: temperatura na face interna (em
) igual a
, e na face externa (em
) igual a
.
- Obter também uma expressão para a temperatura máxima na parede.
Informações relevantes fornecidas:
- Geração volumétrica:
, com e constantes. - Espessura da parede:
. - Condições de contorno (temperaturas conhecidas):
e . - O enunciado não dá a condutividade térmica; vamos assumir que a condutividade térmica é constante e igual a
(parâmetro físico a ser mantido na fórmula). - Objetivo final: encontrar
para e a temperatura máxima (com indicação da posição onde ocorre, se for no interior).
Passo 2
Equacionamento físico (balanço de energia e lei de Fourier) e obtenção da equação diferencial:
- Lei de Fourier em 1D: o fluxo de calor em
é , com constante. - Balanço de energia em regime permanente, para um elemento diferencial entre
e : entrada menos saída de fluxo mais geração interna = 0. Em forma diferencial:
- Substituindo
e constante obtemos
- Isolando a segunda derivada:
- Substituindo a geração
resulta
Aqui explique: a equação acima é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea; para obter
integraremos duas vezes e aplicaremos as condições de contorno.
Passo 3
Integração da equação diferencial (primeira integração):
- Partimos de
- Integramos em relação a
para obter :
onde
é a constante de integração. Simplificando:
Explanação didática: ao integrar
obtemos
; o sinal menos na integral cancela o sinal inicial, daí o termo positivo
.
Passo 4
Segunda integração para obter
:
- Integramos
:
onde
é outra constante de integração.
- Simplificando:
Comentário prático: agora aplicaremos as condições de contorno para determinar
e
.
Passo 5
Aplicação das condições de contorno para determinar
e
:
- Em
: . Substituindo:
Portanto
- Em
: . Substituindo com :
Rearranjando para
:
logo
Interpretação:
é a contribuição linear (pendente média) corrigida pelo efeito da geração distribuída.
Passo 6
Expressão final para a distribuição de temperatura
(colocando
e
):
- Substituindo
e em obtemos, após agrupar termos,
onde
Uma forma alternativa, toda em termos dos parâmetros do problema:
Explicação prática: a primeira parcela
é a solução linear sem geração; o termo com
corrige essa solução devido à geração volumétrica decrescente.
Passo 7
Determinação da posição do máximo e da temperatura máxima:
- Derivada de
:
- Um ponto crítico no interior satisfaz
. Assim, resolvendo para :
Como
, para existir um ponto crítico interno é necessário que o lado direito seja positivo, ou seja
e
. Se essa condição não for satisfeita, então não há extremum interno e a temperatura máxima será a maior entre
e
.
- Quando o extremo interno existe, a posição onde ocorre (denotada
) é
com
dado acima.
- Agora a temperatura máxima
. Usando a relação podemos simplificar a substituição. Substituindo em
e avaliando em
obtemos, após simplificação,
válida quando o ponto crítico interno existe (isto é, quando
e
). Caso contrário,
.
Resposta
quando o extremo interno existe (isto é,
e
); caso contrário
.