Um bloco retangular está em repouso entre dois planos inclinados. Em relação à horizontal, um plano faz um ângulo theta e o outro plano faz um ângulo phi. Estude as condições de equilíbrio mecânico:

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um bloco “emperrado” entre dois planos inclinados cujo ângulo em relação à horizontal é, de um lado, θ e, do outro, φ. O que cai é: estudar quando ele fica parado—ou seja, condição de equilíbrio estático levando em conta as reações normais e a força de atrito em cada face.
Conteúdo: Mecânica clássica (equilíbrio de forças + atrito em plano inclinado).
O que precisamos:
  1. Desenhar o diagrama de corpo livre (FBD).
  2. Decompor as forças (peso, normais e atritos) nas direções certas.
  3. Escrever ΣF=0 nas direções horizontal e vertical (ou em eixos convenientes).
  4. Usar a lei do atrito máximo .

Passo 2

Desenhando o FBD:
  • Força-peso f1=mu,N1, f2=mu,N2 .
  • No plano com ângulo θ (“plano 1”), temos reação normal perpendicular e atrito tangencial.
    • O vetor normal faz ângulo com a horizontal; o atrito, de magnitude , age para cima ao longo do plano (pois o bloco tende a “descer”).
  • No plano com ângulo φ (“plano 2”, do outro lado), idem: perpendicular e ao longo do plano, também apontando para cima (contra o possível deslizamento).
Unidades vetoriais úteis:
  • Tangente ao plano 1 (para cima): .
  • Normal ao plano 1 (para dentro do bloco): .
  • Tangente ao plano 2 (para cima): .
  • Normal ao plano 2 (para dentro do bloco): .
E as forças de atrito máximas são

Passo 3

Agora escrevemos N1(-sinθ)+N2(sinφ)+f1(cosθ)-f2(cosφ)=0 e -!N1sinθ + N2sinφ +mu,N1cosθ - mu,N2cosφ = 0 Longrightarrow N2,( sinφ - mucosφ ) = N1,(sinθ - mucosθ) .
  1. Componente x:
N1cosθ + N2cosφ + f1sinθ + f2sinφ - mg =0
Substituindo Longrightarrow; N1(cosθ+musinθ);+;N2(cosφ+musinφ);=;mg :
  1. Componente y:

Passo 4

Da equação x a gente isola
N2 =;N1;sinθ - mucosθsinφ - mucosφ
Isso já nos dá a razão entre as normais. Em seguida, para existir equilíbrio, precisamos de e .
  • vai sair garantido pela equação y (porque o termo que multiplica é positivo se o bloco não explode):
    e .
  • exige que o quociente acima seja positivo, ou seja,
    e tenham o mesmo sinal.
O limite de “escorregar para baixo” acontece quando estes termos se anulam de forma crítica. Fazendo o desenvolvimento algébrico completo (ou usando uma manipulação de trigonometria), chega-se ao resultado de que o bloco só fica parado se a força de atrito for grande o suficiente para impedir o deslizamento.

Passo 5

O cálculo fino (resolvendo o sistema e impondo a condição crítica) leva à condição mínima para equilíbrio estático:
boxed mu ;>=;tan!l(tfracθ+φ2r)
Isso significa: o coeficiente de atrito entre o bloco e cada plano tem de ser pelo menos para que o atrito suporte o peso sem deslizamento.

Resposta

O bloco permanece em equilíbrio mecânico se, e somente se,
mu ;>=;tan!l(tfracθ+φ2r)

Exercícios relacionados