Um bloco retangular está em repouso entre dois planos inclinados. Em relação à horizontal, um plano faz um ângulo
e o outro plano faz um ângulo
. Estude as condições de equilíbrio mecânico:
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um bloco “emperrado” entre dois planos inclinados cujo ângulo em relação à horizontal é, de um lado, θ e, do outro, φ. O que cai é: estudar quando ele fica parado—ou seja, condição de equilíbrio estático levando em conta as reações normais e a força de atrito em cada face.
Conteúdo: Mecânica clássica (equilíbrio de forças + atrito em plano inclinado).
O que precisamos:
Conteúdo: Mecânica clássica (equilíbrio de forças + atrito em plano inclinado).
O que precisamos:
- Desenhar o diagrama de corpo livre (FBD).
- Decompor as forças (peso, normais e atritos) nas direções certas.
- Escrever ΣF=0 nas direções horizontal e vertical (ou em eixos convenientes).
- Usar a lei do atrito máximo
.
Passo 2
Desenhando o FBD:
- Força-peso
. - No plano com ângulo θ (“plano 1”), temos reação normal
perpendicular e atrito tangencial. - O vetor normal faz ângulo
com a horizontal; o atrito, de magnitude , age para cima ao longo do plano (pois o bloco tende a “descer”).
- O vetor normal faz ângulo
- No plano com ângulo φ (“plano 2”, do outro lado), idem:
perpendicular e ao longo do plano, também apontando para cima (contra o possível deslizamento).
Unidades vetoriais úteis:
- Tangente ao plano 1 (para cima):
. - Normal ao plano 1 (para dentro do bloco):
. - Tangente ao plano 2 (para cima):
. - Normal ao plano 2 (para dentro do bloco):
.
E as forças de atrito máximas são
Passo 3
Agora escrevemos
e
.
- Componente x:
Substituindo
:
- Componente y:
Passo 4
Da equação x a gente isola
Isso já nos dá a razão entre as normais. Em seguida, para existir equilíbrio, precisamos de
e
.
-
vai sair garantido pela equação y (porque o termo que multiplica é positivo se o bloco não explode):
e . -
exige que o quociente acima seja positivo, ou seja,
e tenham o mesmo sinal.
O limite de “escorregar para baixo” acontece quando estes termos se anulam de forma crítica. Fazendo o desenvolvimento algébrico completo (ou usando uma manipulação de trigonometria), chega-se ao resultado de que o bloco só fica parado se a força de atrito for grande o suficiente para impedir o deslizamento.
Passo 5
O cálculo fino (resolvendo o sistema e impondo a condição crítica) leva à condição mínima para equilíbrio estático:
Isso significa: o coeficiente de atrito entre o bloco e cada plano tem de ser pelo menos
para que o atrito suporte o peso sem deslizamento.
Resposta
O bloco permanece em equilíbrio mecânico se, e somente se,