Mostre que em uma situação de equilíbrio mecânico, um cabo sujeito a uma distribuição uniforme de carga (forças) terá o formato de uma parábola, isto é, y=b x^2, sendo b uma constante. É claro que para assumir essa forma despreza-se a massa do cabo. Considere a seguinte distribuição de cargas Fc=F0 x(-j). Dica: lim De

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra mostrar que um cabo em equilíbrio, com uma carga que varia “uniformemente” ao longo de x (ou seja, a força por comprimento é apontando pra baixo), acaba fazendo a curva de uma parábola
- Matéria envolvida: estática (equilíbrio de forças) + cálculo de derivadas (diferenças finitas virando derivada)
- O que vamos usar:
  1. Equilíbrio de forças num pedaço infinitesimal de cabo
  2. Aproximação para pequenas variações:
  3. A dica de derivada

Passo 2

Desenho mental: pega um pedacinho do cabo entre Ty(x+De e . Nas pontas ele recebe tensões e . Além disso, sobre esse trecho atua pra baixo a carga distribuída multiplicada pelo comprimento .
Equilíbrio vertical nesse pedaço diz:

Passo 3

Para cabo fino, a tensão muda de direção mas a componente horizontal Ty(x)=T(x)sinthetaapprox TH,tantheta=TH,y'(x) permanece aproximadamente constante (chama de THl[y'(x+De). Então:
Substituindo no equilíbrio:

Passo 4

Agora dividimos tudo por TH,y''(x)-F0,x=0 Longrightarrow y''(x)=F0TH,x e mandamos :

Passo 5

Integramos duas vezes:
  1. y(x)=F0TH,x^36
  2. y''=F0TH ;Longrightarrow; y=b,x^2, b=F02TH
Mas em geral a gente coloca o ponto mais baixo do cabo em , o que faz , e define , ou seja . Na verdade a parábola clássica sai de uma segunda derivada constante, mas como aqui deu , repare que rolou um detalhe: se a força é , a equação leva a , e integrando dá
Mas se o enunciado quiser , é porque ele supôs força uniforme (não crescente em x), aí fica

Resposta

O contorno em equilíbrio é dado por
y=b,x^2,
com a constante
b=F02,TH

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