Mostre que em uma situação de equilíbrio mecânico, um cabo sujeito a uma distribuição uniforme de carga (forças) terá o formato de uma parábola, isto é,
, sendo
uma constante. É claro que para assumir essa forma despreza-se a massa do cabo. Considere a seguinte distribuição de cargas
. Dica:
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede pra mostrar que um cabo em equilíbrio, com uma carga que varia “uniformemente” ao longo de x (ou seja, a força por comprimento é
apontando pra baixo), acaba fazendo a curva de uma parábola
- Matéria envolvida: estática (equilíbrio de forças) + cálculo de derivadas (diferenças finitas virando derivada)
- O que vamos usar:
- Matéria envolvida: estática (equilíbrio de forças) + cálculo de derivadas (diferenças finitas virando derivada)
- O que vamos usar:
- Equilíbrio de forças num pedaço infinitesimal de cabo
- Aproximação para pequenas variações:
- A dica de derivada
Passo 2
Desenho mental: pega um pedacinho do cabo entre
e
. Nas pontas ele recebe tensões
e
. Além disso, sobre esse trecho atua pra baixo a carga distribuída
multiplicada pelo comprimento
.
Equilíbrio vertical nesse pedaço diz:
Equilíbrio vertical nesse pedaço diz:
Passo 3
Para cabo fino, a tensão muda de direção mas a componente horizontal
permanece aproximadamente constante (chama de
). Então:
Substituindo no equilíbrio:
Passo 4
Agora dividimos tudo por
e mandamos
:
Passo 5
Integramos duas vezes:
Mas em geral a gente coloca o ponto mais baixo do cabo em
, o que faz
, e define
, ou seja
. Na verdade a parábola clássica sai de uma segunda derivada constante, mas como aqui deu
, repare que rolou um detalhe: se a força é
, a equação leva a
, e integrando dá
Mas se o enunciado quiser
, é porque ele supôs força uniforme (não crescente em x), aí fica
Resposta
O contorno em equilíbrio é dado por
com a constante