1. Um bloco retangular tem o peso desprezível e está submetido a uma força vertical P . Determinar a faixa de valores da excentricidade e_{x} da carga ao longo do eixo x de modo que não provoque qualquer esforço de tração no bloco.

Passo 1

O enunciado dá um bloco retangular com peso desprezível e uma força vertical \,P\, aplicada no topo com uma excentricidade \,e_x\, ao longo do eixo x. A tarefa é determinar a faixa de valores de \,e_x\, de modo que a carga não provoque qualquer esforço de tração no bloco (ou seja, toda a seção submetida fique em compressão).
Informações relevantes fornecidas (peguei estes números da imagem):
  • Dimensões da face superior retangular: comprimento ao longo do eixo x igual a \,72\\ \text{cm}\, e a outra dimensão igual a \,20\\ \text{cm}\,.
  • A força \,P\, é vertical e atua com excentricidade \,e_x\, medida ao longo do eixo x.
  • O bloco tem peso desprezível (logo só o carregamento P conta).
O que se pede:
  • Determinar a faixa de valores de \,e_x\, (valores positivos e negativos) tal que não ocorra tração em nenhuma fibra da seção — ou seja, que a tensão máxima seja compressiva ou nula.

Passo 2

Conceito-chave e modelo físico (explicadinho): quando temos uma força axial deslocada do centro da área, ela gera compressão média e um momento fletor. A tensão normal em um ponto da seção é a soma (superposição) da tensão média por esforço normal e da tensão de flexão. A fórmula geral (com sinal de tração positivo) é:
\sigma(x) = -\frac{P}{A} + \frac{M\,x}{I}
onde:
  • \sigma(x) é a tensão normal no ponto cuja coordenada ao longo do eixo x é \,x (origem no centróide da seção);
  • \,P\, é a força axial (positiva para compressão neste raciocínio usamos o sinal “-” na parte -P/A para representar compressão como negativo);
  • \,A\, é a área da seção transversal;
  • \,M\, é o momento fletor devido à excentricidade, que vale \,M = P\,e_x\,;
  • \,I\, é o momento de inércia da seção em relação ao eixo que passa pelo centróide e é perpendicular à direção onde a tensão varia (aqui, o eixo que corta a seção parallel ao lado de \,20\\ \text{cm}\,, ou seja, usamos o momento de inércia em relação ao eixo y);
  • \,x\, é a coordenada do ponto medida a partir do centróide (o extremo da seção corresponde a \,x = \pm c\, onde \,c\, é a distância do centróide até a fibra mais afastada).
Explicação em palavras: a primeira parcela -P/A é a compressão uniforme que o esforço axial produz; a segunda parcela (M x)/I é a variação linear da tensão por flexão. Para evitar tração, o valor máximo da parte flexional que tenderia a produzir tração não pode superar a compressão média.

Passo 3

Determinar as quantidades geométricas da seção (peguei as dimensões da imagem):
  • comprimento ao longo do eixo x: \,a = 72\\ \text{cm}\,.
  • largura perpendicular (no outro eixo do plano da face): \,b = 20\\ \text{cm}\,.
Área da seção:
A = a\,b.
Distância até a fibra extrema (metade da dimensão ao longo de x):
c = \frac{a}{2}.
Momento fletor causado pela excentricidade:
M = P\,e_x.

Passo 4

Calcular o momento de inércia apropriado. Como a variação de tensão ocorre ao longo da dimensão x (comprimento \,a\,), precisamos do momento de inércia da retângulo em relação ao eixo y que passa pelo centróide e é paralelo à dimensão \,b\,. Para um retângulo de lados a (no eixo x) e b (no eixo perpendicular), vale:
I = \frac{b\,a^{3}}{12}.
Expliquei: essa fórmula é a conhecida expressão para o momento de inércia de um retângulo em relação ao eixo que corta seu meio e é paralelo ao lado de comprimento \,b\,.

Passo 5

Condição para não haver tração. Com o sinal convencional onde tração é positiva, a fibra que tende a ficar mais tracionada é aquela para a qual (M x)/I tem sinal positivo maior. O caso crítico é a fibra extrema onde a soma axial+flexão atinge seu maior valor. A condição para não haver tração é que a tensão máxima seja menor ou igual a zero:
-\frac{P}{A} + \frac{M\,c}{I} \le 0.
Substituindo M = P e_x obtemos:
-\frac{P}{A} + \frac{P e_x\, c}{I} \le 0.
Como P>0 (módulo da carga), podemos dividir por P sem mudar o sentido da desigualdade:
-\frac{1}{A} + \frac{e_x\, c}{I} \le 0.
Isolando e_x:
\frac{e_x\, c}{I} \le \frac{1}{A} \quad\Longrightarrow\quad e_x \le \frac{I}{A\,c}.
Por simetria (a carga pode estar deslocada no sentido positivo ou negativo do eixo x), o resultado em módulo é:
|e_x| \le \frac{I}{A\,c}.

Passo 6

Agora substituir as expressões de I, A e c em termos de a e b:
A = a b,\qquad I = \frac{b a^{3}}{12},\qquad c=\frac{a}{2}.
Calcule a razão:
\frac{I}{A\,c} = \frac{\dfrac{b a^{3}}{12}}{(a b)\left(\dfrac{a}{2}\right)}.
Simplificando passo a passo:
  • No numerador tem b a^{3}/12.
  • No denominador tem a b \cdot a/2 = a^{2} b/2.
Portanto:
\frac{I}{A\,c} = \frac{\dfrac{b a^{3}}{12}}{\dfrac{a^{2} b}{2}} = \left(\frac{b a^{3}}{12}\right)\left(\frac{2}{a^{2} b}\right) = \frac{2 a}{12} = \frac{a}{6}.
Comentário didático: aqui as b e uma potência de a cancelam, mostrando que a tolerância à excentricidade depende apenas da dimensão no sentido da excentricidade e é igual a um sexto dessa dimensão. Esse é o conhecido “critério do terço médio” ou “middle-third rule” para seções retangulares: se a resultante estiver dentro do terço médio da seção, não ocorrem tensões de tração.

Passo 7

Aplicar ao caso numérico (usei \,a=72\\ \text{cm}\, que peguei da imagem):
|e_x| \le \frac{a}{6} = \frac{72\\ \text{cm}}{6} = 12\\ \text{cm}.
Interpretando: a carga vertical pode estar deslocada até \,12\\ \text{cm}\, para a direita ou para a esquerda do centróide (ao longo do eixo x) sem causar tração em nenhuma fibra.

Passo 8

Resumo final do raciocínio (curtinho e incentivador): a regra prática é simples — mantenha a linha de ação da carga dentro do terço médio da largura no sentido da excentricidade. Se fizer isso, a soma axial+flexão não produz tensão de tração. Você já pode decorar: para retângulo, limite de excentricidade em relação à dimensão na direção considerada é \,a/6.

Resposta

|e_x| \le 12\\ \text{cm}, ou seja -12\\ \text{cm} \le e_x \le 12\\ \text{cm}.

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