- Um bloco retangular tem o peso desprezível e está submetido a uma força vertical P . Determinar a faixa de valores da excentricidade
da carga ao longo do eixo x de modo que não provoque qualquer esforço de tração no bloco.
Passo 1
O enunciado dá um bloco retangular com peso desprezível e uma força vertical
aplicada no topo com uma excentricidade
ao longo do eixo
. A tarefa é determinar a faixa de valores de
de modo que a carga não provoque qualquer esforço de tração no bloco (ou seja, toda a seção submetida fique em compressão).
Informações relevantes fornecidas (peguei estes números da imagem):
- Dimensões da face superior retangular: comprimento ao longo do eixo
igual a e a outra dimensão igual a . - A força
é vertical e atua com excentricidade medida ao longo do eixo . - O bloco tem peso desprezível (logo só o carregamento
conta).
O que se pede:
- Determinar a faixa de valores de
(valores positivos e negativos) tal que não ocorra tração em nenhuma fibra da seção — ou seja, que a tensão máxima seja compressiva ou nula.
Passo 2
Conceito-chave e modelo físico (explicadinho): quando temos uma força axial deslocada do centro da área, ela gera compressão média e um momento fletor. A tensão normal em um ponto da seção é a soma (superposição) da tensão média por esforço normal e da tensão de flexão. A fórmula geral (com sinal de tração positivo) é:
onde:
-
é a tensão normal no ponto cuja coordenada ao longo do eixo é (origem no centróide da seção); -
é a força axial (positiva para compressão neste raciocínio usamos o sinal “-” na parte para representar compressão como negativo); -
é a área da seção transversal; -
é o momento fletor devido à excentricidade, que vale ; -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo que passa pelo centróide e é perpendicular à direção onde a tensão varia (aqui, o eixo que corta a seção parallel ao lado de , ou seja, usamos o momento de inércia em relação ao eixo ); -
é a coordenada do ponto medida a partir do centróide (o extremo da seção corresponde a onde é a distância do centróide até a fibra mais afastada).
Explicação em palavras: a primeira parcela
é a compressão uniforme que o esforço axial produz; a segunda parcela
é a variação linear da tensão por flexão. Para evitar tração, o valor máximo da parte flexional que tenderia a produzir tração não pode superar a compressão média.
Passo 3
Determinar as quantidades geométricas da seção (peguei as dimensões da imagem):
- comprimento ao longo do eixo
: . - largura perpendicular (no outro eixo do plano da face):
.
Área da seção:
Distância até a fibra extrema (metade da dimensão ao longo de
):
Momento fletor causado pela excentricidade:
Passo 4
Calcular o momento de inércia apropriado. Como a variação de tensão ocorre ao longo da dimensão
(comprimento
), precisamos do momento de inércia da retângulo em relação ao eixo
que passa pelo centróide e é paralelo à dimensão
. Para um retângulo de lados
(no eixo
) e
(no eixo perpendicular), vale:
Expliquei: essa fórmula é a conhecida expressão para o momento de inércia de um retângulo em relação ao eixo que corta seu meio e é paralelo ao lado de comprimento
.
Passo 5
Condição para não haver tração. Com o sinal convencional onde tração é positiva, a fibra que tende a ficar mais tracionada é aquela para a qual
tem sinal positivo maior. O caso crítico é a fibra extrema onde a soma axial+flexão atinge seu maior valor. A condição para não haver tração é que a tensão máxima seja menor ou igual a zero:
Substituindo
obtemos:
Como
(módulo da carga), podemos dividir por
sem mudar o sentido da desigualdade:
Isolando
:
Por simetria (a carga pode estar deslocada no sentido positivo ou negativo do eixo
), o resultado em módulo é:
Passo 6
Agora substituir as expressões de
,
e
em termos de
e
:
Calcule a razão:
Simplificando passo a passo:
- No numerador tem
. - No denominador tem
.
Portanto:
Comentário didático: aqui as
e uma potência de
cancelam, mostrando que a tolerância à excentricidade depende apenas da dimensão no sentido da excentricidade e é igual a um sexto dessa dimensão. Esse é o conhecido “critério do terço médio” ou “middle-third rule” para seções retangulares: se a resultante estiver dentro do terço médio da seção, não ocorrem tensões de tração.
Passo 7
Aplicar ao caso numérico (usei
que peguei da imagem):
Interpretando: a carga vertical pode estar deslocada até
para a direita ou para a esquerda do centróide (ao longo do eixo
) sem causar tração em nenhuma fibra.
Passo 8
Resumo final do raciocínio (curtinho e incentivador): a regra prática é simples — mantenha a linha de ação da carga dentro do terço médio da largura no sentido da excentricidade. Se fizer isso, a soma axial+flexão não produz tensão de tração. Você já pode decorar: para retângulo, limite de excentricidade em relação à dimensão na direção considerada é
.