1. Determinar o valor de P de compressão excêntrica sendo \sigma_{c, a d m}=-0,8 t f / \mathrm{cm}^{2} e
\sigma_{t, a d m}=0,6 \mathrm{tf} / \mathrm{cm}^{2}
SEPARADOR task_1
obs: unidades em cm.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem fornecida).
  • Tensões admissíveis:
    • compressão: \sigma_{c,adm} = -0,8\\ \mathrm{tf/cm^{2}},
    • tração: \sigma_{t,adm} = 0,6\\ \mathrm{tf/cm^{2}}.
  • Há uma carga vertical P aplicada com excentricidades em x e z (o ponto de aplicação está deslocado do centróide da seção).
  • A seção transversal é um quadrado cujos comprimentos e posições (retirados da imagem) indicam que a aresta vale 12\\ \mathrm{cm} e que o ponto de aplicação está deslocado 4\\ \mathrm{cm} para a direita e 2\\ \mathrm{cm} para cima em relação ao centróide.
  • O enunciado pede determinar o valor de P (unidade: \mathrm{tf}) tal que as tensões extremas não ultrapassem os limites admissíveis.

Passo 2

Entender a fórmula geral de tensão para carregamento centrífugo + momento (compressão excêntrica).
Quando uma força axial P age deslocada do centróide, ela produz:
  • uma componente média de tensão axial uniforme \dfrac{P}{A},
  • e tensões de flexão devido aos momentos M_x e M_z criados pelas excentricidades.
A fórmula linear de tensões na seção (com coordenadas medidas a partir do centróide) é:
\sigma(x,z)=\frac{P}{A} - \frac{M_x\,z}{I_x} + \frac{M_z\,x}{I_z},
onde:
  • A é a área da seção ( \mathrm{cm^2}),
  • I_x é o momento de inércia em relação ao eixo x (variando com z),
  • I_z é o momento de inércia em relação ao eixo z (variando com x),
  • x e z são as coordenadas do ponto onde se calcula a tensão (em cm),
  • os sinais estão escolhidos tal que termo com z varia linearmente com a coordenada vertical e termo com x varia linearmente com a coordenada horizontal.
    Os momentos criados pelas excentricidades são:
M_x = P\,e_z,\qquad M_z = P\,e_x,
onde e_x e e_z são as excentricidades do vetor P em relação ao centróide (em cm).

Passo 3

Calcular características geométricas da seção usando os dados extraídos da imagem.
  • Seção é um quadrado de lado b=h=12\\ \mathrm{cm}. Então a área é
A = b\cdot h = 12\cdot 12 = 144\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Momentos de inércia centroidais para retângulo/quadrado (eixos passando pelo centróide):
I_x = \frac{b\,h^{3}}{12},\qquad I_z = \frac{h\,b^{3}}{12}.
Para b=h=12\\ \mathrm{cm} isso dá
I_x = I_z = \frac{12\cdot 12^{3}}{12} = 12^{3} = 1728\\ \mathrm{cm^{4}}.

Passo 4

Determinar as excentricidades a partir da figura (peguei estes valores da imagem).
  • e_x = 4\\ \mathrm{cm} (deslocamento para a direita do centróide),
  • e_z = 2\\ \mathrm{cm} (deslocamento para cima do centróide).
Então os momentos são
M_x = P\,e_z = P\cdot 2,\qquad M_z = P\,e_x = P\cdot 4,
onde P está em \mathrm{tf}, M em \mathrm{tf\cdot cm}.

Passo 5

Identificar onde ocorrem as tensões extremas (máxima tração e máxima compressão).
A tensão é afim em x e z, logo os extremos ocorrem nos cantos da seção. As coordenadas dos cantos (medidas a partir do centróide) são:
(x,z)\in\{(+6,+6),\\ (+6,-6),\\ (-6,+6),\\ (-6,-6)\}\\ \mathrm{cm}.
Devemos encontrar qual canto produz a maior tensão positiva (tração) e qual produz a maior tensão negativa (compressão). Observando a expressão
\sigma(x,z)=P\!\left(\frac{1}{A} - \frac{e_z\,z}{I_x} + \frac{e_x\,x}{I_z}\right),
para maximizar \sigma escolhemos x e z com sinais que tornem os termos adicionais positivos. Isso ocorre em x=+6,\\ z=-6 (canto inferior direito): tanto \frac{e_x x}{I_z} quanto -\frac{e_z z}{I_x} ficam positivos. Para o mínimo (maior compressão) escolhemos x=-6,\\ z=+6 (canto superior esquerdo).

Passo 6

Calcular o coeficiente multiplicador de P para a tensão no canto que dá máxima tração.
Usando x=+6 e z=-6:
\begin{aligned} \sigma_{max\_t} &= P\!\left(\frac{1}{A} - \frac{e_z(-6)}{I_x} + \frac{e_x(6)}{I_z}\right) \\\ &= P\!\left(\frac{1}{144} + \frac{6\,e_z}{I_x} + \frac{6\,e_x}{I_z}\right). \end{aligned}
Substituindo e_x=4,\\ e_z=2,\\ I_x=I_z=1728:
\frac{6\,e_z}{I_x}=\frac{6\cdot 2}{1728}=\frac{12}{1728}=\frac{1}{144}, \qquad \frac{6\,e_x}{I_z}=\frac{6\cdot 4}{1728}=\frac{24}{1728}=\frac{1}{72}.
Portanto
\sigma_{max\_t}=P\!\left(\frac{1}{144}+\frac{1}{144}+\frac{1}{72}\right).
Somando frações:
\frac{1}{144}+\frac{1}{144}=\frac{2}{144}=\frac{1}{72},
logo total
\sigma_{max\_t}=P\!\left(\frac{1}{72}+\frac{1}{72}\right)=P\cdot\frac{1}{36}.
Assim
\sigma_{max\_t}=\frac{P}{36}\\ \mathrm{tf/cm^{2}}.

Passo 7

Impor a condição de limite de tração admissível.
A condição é \sigma_{max\_t}\le \sigma_{t,adm}=0,6\\ \mathrm{tf/cm^{2}}. Então
\frac{P}{36}\le 0,6 \quad\Rightarrow\quad P \le 0,6\cdot 36 = 21,6\\ \mathrm{tf}.

Passo 8

Calcular o coeficiente multiplicador de P para a tensão no canto que dá máxima compressão e verificar a condição de compressão admissível.
Usando x=-6 e z=+6:
\begin{aligned} \sigma_{max\_c} &= P\!\left(\frac{1}{A} - \frac{e_z(6)}{I_x} + \frac{e_x(-6)}{I_z}\right) \\\ &= P\!\left(\frac{1}{144} - \frac{6e_z}{1728} - \frac{6e_x}{1728}\right). \end{aligned}
Com e_x=4,\\ e_z=2:
\frac{6e_z}{1728}=\frac{12}{1728}=\frac{1}{144},\qquad \frac{6e_x}{1728}=\frac{24}{1728}=\frac{1}{72}.
Logo
\sigma_{max\_c}=P\!\left(\frac{1}{144}-\frac{1}{144}-\frac{1}{72}\right)=P\!\left(-\frac{1}{72}\right)=-\frac{P}{72}.
A condição de compressão admissível é \sigma_{max\_c}\ge \sigma_{c,adm}=-0,8\\ \mathrm{tf/cm^{2}}. Assim:
-\frac{P}{72}\ge -0,8 \quad\Rightarrow\quad \frac{P}{72}\le 0,8 \quad\Rightarrow\quad P\le 0,8\cdot 72=57,6\\ \mathrm{tf}.

Passo 9

Determinar o valor admissível de P colocando as duas condições em conjunto.
  • A condição de tração deu P\le 21,6\\ \mathrm{tf}.
  • A condição de compressão deu P\le 57,6\\ \mathrm{tf}.
A condição governante é a mais restritiva, ou seja, a de tração. Portanto o valor máximo de P que satisfaz ambas é
P_{adm}=21,6\\ \mathrm{tf}.

Resposta

P = 21,6\\ \mathrm{tf}

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