- Determinar o valor de P de compressão excêntrica sendo
e
SEPARADOR task_1
obs: unidades em cm.
obs: unidades em cm.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem fornecida).
- Tensões admissíveis:
- compressão:
, - tração:
.
- compressão:
- Há uma carga vertical
aplicada com excentricidades em e (o ponto de aplicação está deslocado do centróide da seção). - A seção transversal é um quadrado cujos comprimentos e posições (retirados da imagem) indicam que a aresta vale
e que o ponto de aplicação está deslocado para a direita e para cima em relação ao centróide. - O enunciado pede determinar o valor de
(unidade: ) tal que as tensões extremas não ultrapassem os limites admissíveis.
Passo 2
Entender a fórmula geral de tensão para carregamento centrífugo + momento (compressão excêntrica).
Quando uma força axial age deslocada do centróide, ela produz:
Quando uma força axial
- uma componente média de tensão axial uniforme
, - e tensões de flexão devido aos momentos
e criados pelas excentricidades.
A fórmula linear de tensões na seção (com coordenadas medidas a partir do centróide) é:
onde:
-
é a área da seção ( ), -
é o momento de inércia em relação ao eixo (variando com ), -
é o momento de inércia em relação ao eixo (variando com ), -
e são as coordenadas do ponto onde se calcula a tensão (em cm), - os sinais estão escolhidos tal que termo com
varia linearmente com a coordenada vertical e termo com varia linearmente com a coordenada horizontal.
Os momentos criados pelas excentricidades são:
onde
e
são as excentricidades do vetor
em relação ao centróide (em cm).
Passo 3
Calcular características geométricas da seção usando os dados extraídos da imagem.
- Seção é um quadrado de lado
. Então a área é
- Momentos de inércia centroidais para retângulo/quadrado (eixos passando pelo centróide):
Para
isso dá
Passo 4
Determinar as excentricidades a partir da figura (peguei estes valores da imagem).
-
(deslocamento para a direita do centróide), -
(deslocamento para cima do centróide).
Então os momentos são
onde
está em
,
em
.
Passo 5
Identificar onde ocorrem as tensões extremas (máxima tração e máxima compressão).
A tensão é afim em e
, logo os extremos ocorrem nos cantos da seção. As coordenadas dos cantos (medidas a partir do centróide) são:
A tensão é afim em
Devemos encontrar qual canto produz a maior tensão positiva (tração) e qual produz a maior tensão negativa (compressão). Observando a expressão
para maximizar
escolhemos
e
com sinais que tornem os termos adicionais positivos. Isso ocorre em
(canto inferior direito): tanto
quanto
ficam positivos. Para o mínimo (maior compressão) escolhemos
(canto superior esquerdo).
Passo 6
Calcular o coeficiente multiplicador de
para a tensão no canto que dá máxima tração.
Usando e
:
Usando
Substituindo
:
Portanto
Somando frações:
logo total
Assim
Passo 7
Impor a condição de limite de tração admissível.
A condição é . Então
A condição é
Passo 8
Calcular o coeficiente multiplicador de
para a tensão no canto que dá máxima compressão e verificar a condição de compressão admissível.
Usando e
:
Usando
Com
:
Logo
A condição de compressão admissível é
. Assim:
Passo 9
Determinar o valor admissível de
colocando as duas condições em conjunto.
- A condição de tração deu
. - A condição de compressão deu
.
A condição governante é a mais restritiva, ou seja, a de tração. Portanto o valor máximo de
que satisfaz ambas é