1. Um eixo mono-engastado com seção transversal triangular vazada e 800 mm de comprimento está submetido a um torque anti-horário de 3,5 \mathrm{kNm} em sua extremidade livre. Sabendo que o eixo é feito de uma liga de alumínio que apresenta módulo de elasticidade transversal G de 28 GPa , determine:
a) A tensão de cisalhamento em cada uma das paredes do eixo.

Passo 1

O enunciado e as imagens fornecem as seguintes informações (estou apenas listando os dados; escolhas e decisões virão no próximo passo):
  • Dados escritos no enunciado:
    • Torque aplicado: T = 3{,}5\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
    • Comprimento do eixo: L = 800\\ \text{mm}.
    • Módulo de elasticidade transversal: G = 28\\ \text{GPa}.
  • Dados visuais extraídos das imagens:
    • Na imagem da seção transversal há uma seção anelar com raios:
      • R_{\text{externo}} = 90\\ \text{mm}.
      • R_{\text{interno}} = 75\\ \text{mm}.
    • Observação: a primeira imagem mostra outro conjunto de números (torque 800\\ \text{N}\cdot\text{m} e comprimento 2{,}0\\ \text{m}), que difere do enunciado escrito.
  • O que o problema pede:
    • (a) Determinar a tensão de cisalhamento em cada uma das paredes do eixo (ou seja, valor da tensão de cisalhamento na parede externa e na parede interna da seção anelar).

Passo 2

Escolha dos dados a usar e princípio físico básico (sem resolver ainda).
  • Escolha dos dados: haverá uma pequena inconsistência entre o número do enunciado ( T=3{,}5\\ \text{kN}\cdot\text{m}, L=800\\ \text{mm}) e os números mostrados na primeira figura ( T=800\\ \text{N}\cdot\text{m}, L=2{,}0\\ \text{m}). Para esta resolução será adotado o torque e comprimento informados no enunciado escrito, ou seja:
    • T = 3{,}5\\ \text{kN}\cdot\text{m} = 3500\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    • L = 800\\ \text{mm} = 0{,}8\\ \text{m}.
    • Os raios da seção serão os extraídos da figura da seção: R_{\text{o}} = 90\\ \text{mm} e R_{\text{i}} = 75\\ \text{mm}.
    • Observação: o comprimento L e o módulo G não entram no cálculo da tensão máxima de cisalhamento (entrariam no ângulo de torção), por isso não serão usados para a parte (a).
  • Princípio físico e fórmula a usar:
    • Para uma seção circular (sólida ou anelar) sujeita a um torque T, a tensão de cisalhamento em uma fibra a distância radial r do centro é dada por
    \tau(r)=\frac{T\,r}{J},onde J é o momento polar de inércia (momento de segunda ordem polar) da seção em relação ao eixo.
    • Para uma seção anelar circular com raio externo R_{\text{o}} e interno R_{\text{i}},
    J=\frac{\pi}{2}\bigl(R_{\text{o}}^{4}-R_{\text{i}}^{4}\bigr).
    • Portanto o plano de ação é:
      1. calcular J usando os raios;
      2. aplicar \tau(R_{\text{o}})=T\,R_{\text{o}}/J para tensão na parede externa;
      3. aplicar \tau(R_{\text{i}})=T\,R_{\text{i}}/J para tensão na parede interna.
    • Agora vamos calcular passo a passo com atenção às unidades.

Passo 3

Converter os dados para unidades SI e calcular J.
  • Converter raios para metros: R_{\text{o}} = 90\\ \text{mm} = 0{,}090\\ \text{m},\qquad R_{\text{i}} = 75\\ \text{mm} = 0{,}075\\ \text{m}.
  • Calcular as potências de quarta ordem: R_{\text{o}}^{4} = (0{,}090)^{4}=(0{,}090^{2})^{2}=(0{,}0081)^{2}=0{,}00006561=6{,}561\times10^{-5}\\ \text{m}^{4},
R_{\text{i}}^{4} = (0{,}075)^{4}=(0{,}075^{2})^{2}=(0{,}005625)^{2}=0{,}000031640625=3{,}1640625\times10^{-5}\\ \text{m}^{4}.
  • Diferença: R_{\text{o}}^{4}-R_{\text{i}}^{4} =6{,}561\times10^{-5}-3{,}1640625\times10^{-5} =3{,}3969375\times10^{-5}\\ \text{m}^{4}.
  • Agora J: J=\frac{\pi}{2}\bigl(R_{\text{o}}^{4}-R_{\text{i}}^{4}\bigr) =\frac{\pi}{2}\times 3{,}3969375\times10^{-5}.Calcular numericamente: \frac{\pi}{2}\approx1{,}5707963,\qquad J\approx 1{,}5707963\times 3{,}3969375\times10^{-5} \approx 5{,}333\times10^{-5}\\ \text{m}^{4}.(Arredondamento por conveniência: J\approx 5{,}333\times10^{-5}\\ \text{m}^{4}.)

Passo 4

Calcular as tensões de cisalhamento nas paredes externa e interna usando \tau(r)=T r / J.
  • Converter o torque para SI: T = 3{,}5\\ \text{kN}\cdot\text{m} = 3500\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Tensão na parede externa ( r=R_{\text{o}}=0{,}090\\ \text{m}): \tau_{\text{externa}}=\frac{T\,R_{\text{o}}}{J} =\frac{3500\times 0{,}090}{5{,}333\times10^{-5}}.Fazer a conta passo a passo: 3500\times 0{,}090 = 315\quad(\text{N}\cdot\text{m}),
\tau_{\text{externa}}=\frac{315}{5{,}333\times10^{-5}} \approx 5{,}90625\times10^{6}\\ \text{Pa}.
Em unidades práticas:
\tau_{\text{externa}}\approx 5{,}91\\ \text{MPa}.
  • Tensão na parede interna ( r=R_{\text{i}}=0{,}075\\ \text{m}): \tau_{\text{interna}}=\frac{T\,R_{\text{i}}}{J} =\frac{3500\times 0{,}075}{5{,}333\times10^{-5}}.Calcular: 3500\times 0{,}075 = 262{,}5,
\tau_{\text{interna}}=\frac{262{,}5}{5{,}333\times10^{-5}} \approx 4{,}3828125\times10^{6}\\ \text{Pa}.
Em MPa:
\tau_{\text{interna}}\approx 4{,}38\\ \text{MPa}.

Passo 5

Pequena verificação pelo método aproximado de parede fina (checagem qualitativa) e interpretação.
  • Método aproximado de parede fina para seção anelar: a tensão média na parede externa pode ser estimada pelo fluxo de cisalhamento q=T/(2A_m) com \tau\approx q/t, onde A_m é a área interna do contorno mediano e t a espessura. Isso dá um valor aproximado para \tau na ordem de 5{,}45\\ \text{MPa}, próximo ao valor exato 5{,}91\\ \text{MPa}. A proximidade indica que os cálculos exatos estão coerentes.
  • Interpretação física: a tensão de cisalhamento varia linearmente com o raio r; assim a parede externa (maior r) tem tensão maior que a parede interna, conforme encontrado.

Passo 6

Mensagem de incentivo e resumo curto: as contas mostram que as tensões são relativamente baixas (alguns MPa) para o torque dado, e o procedimento geral para problemas de torção é sempre:
  • obter J da seção,
  • usar \tau(r)=T r / J,
  • checar unidades com atenção.

Resposta

\tau_{\text{externa}} \approx 5{,}91\\ \text{MPa}
\tau_{\text{interna}} \approx 4{,}38\\ \text{MPa}

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