- Um eixo mono-engastado com seção transversal triangular vazada e 800 mm de comprimento está submetido a um torque anti-horário de
em sua extremidade livre. Sabendo que o eixo é feito de uma liga de alumínio que apresenta módulo de elasticidade transversal G de 28 GPa , determine:
a) A tensão de cisalhamento em cada uma das paredes do eixo.
Passo 1
O enunciado e as imagens fornecem as seguintes informações (estou apenas listando os dados; escolhas e decisões virão no próximo passo):
- Dados escritos no enunciado:
- Torque aplicado:
. - Comprimento do eixo:
. - Módulo de elasticidade transversal:
.
- Torque aplicado:
- Dados visuais extraídos das imagens:
- Na imagem da seção transversal há uma seção anelar com raios:
-
. -
.
-
- Observação: a primeira imagem mostra outro conjunto de números (torque
e comprimento ), que difere do enunciado escrito.
- Na imagem da seção transversal há uma seção anelar com raios:
- O que o problema pede:
- (a) Determinar a tensão de cisalhamento em cada uma das paredes do eixo (ou seja, valor da tensão de cisalhamento na parede externa e na parede interna da seção anelar).
Passo 2
Escolha dos dados a usar e princípio físico básico (sem resolver ainda).
- Escolha dos dados: haverá uma pequena inconsistência entre o número do enunciado (
, ) e os números mostrados na primeira figura ( , ). Para esta resolução será adotado o torque e comprimento informados no enunciado escrito, ou seja: -
. -
. - Os raios da seção serão os extraídos da figura da seção:
e . - Observação: o comprimento
e o módulo não entram no cálculo da tensão máxima de cisalhamento (entrariam no ângulo de torção), por isso não serão usados para a parte (a).
-
- Princípio físico e fórmula a usar:
- Para uma seção circular (sólida ou anelar) sujeita a um torque
, a tensão de cisalhamento em uma fibra a distância radial do centro é dada por
onde é o momento polar de inércia (momento de segunda ordem polar) da seção em relação ao eixo. - Para uma seção anelar circular com raio externo
e interno ,
- Portanto o plano de ação é:
- calcular
usando os raios; - aplicar
para tensão na parede externa; - aplicar
para tensão na parede interna.
- calcular
- Agora vamos calcular passo a passo com atenção às unidades.
- Para uma seção circular (sólida ou anelar) sujeita a um torque
Passo 3
Converter os dados para unidades SI e calcular
.
- Converter raios para metros:
- Calcular as potências de quarta ordem:
- Diferença:
- Agora
: Calcular numericamente: (Arredondamento por conveniência: .)
Passo 4
Calcular as tensões de cisalhamento nas paredes externa e interna usando
.
- Converter o torque para SI:
- Tensão na parede externa (
): Fazer a conta passo a passo:
Em unidades práticas:
- Tensão na parede interna (
): Calcular:
Em MPa:
Passo 5
Pequena verificação pelo método aproximado de parede fina (checagem qualitativa) e interpretação.
- Método aproximado de parede fina para seção anelar: a tensão média na parede externa pode ser estimada pelo fluxo de cisalhamento
com , onde é a área interna do contorno mediano e a espessura. Isso dá um valor aproximado para na ordem de , próximo ao valor exato . A proximidade indica que os cálculos exatos estão coerentes. - Interpretação física: a tensão de cisalhamento varia linearmente com o raio
; assim a parede externa (maior ) tem tensão maior que a parede interna, conforme encontrado.
Passo 6
Mensagem de incentivo e resumo curto: as contas mostram que as tensões são relativamente baixas (alguns MPa) para o torque dado, e o procedimento geral para problemas de torção é sempre:
- obter
da seção, - usar
, - checar unidades com atenção.