1. Um eixo mono-engastado com seção transversal triangular vazada e 800 mm de comprimento está submetido a um torque anti-horário de 3,5 \mathrm{kNm} em sua extremidade livre. Sabendo que o eixo é feito de uma liga de alumínio que apresenta módulo de elasticidade transversal G de 28 GPa , determine:
b) O ângulo de torção em sua extremidade livre. Considere \mathrm{G}=28 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo de torção na extremidade livre do eixo. Informações dadas (peguei explicitamente alguns valores do enunciado e da imagem):
  • Torque aplicado: T = 3{,}5\\ \mathrm{kNm} (peguei este valor do enunciado).
  • Comprimento do eixo: L = 800\\ \mathrm{mm} (peguei este valor do enunciado).
  • Módulo de elasticidade transversal: G = 28\\ \mathrm{GPa} (dado).
  • Da imagem da seção transversal peguei:
    • Raio externo: R_{\text{externo}} = 90\\ \mathrm{mm}.
    • Raio interno: R_{\text{interno}} = 75\\ \mathrm{mm}.
O que se pede aqui (parte b): calcular o ângulo de torção na extremidade livre, ou seja, \theta no ponto livre.

Passo 2

Fórmula básica para ângulo de torção em um eixo prismático submetido a um torque constante:
\theta = \frac{T\,L}{G\,J},
onde:
  • \theta é o ângulo de torção (em radianos),
  • T é o torque aplicado (unidade \mathrm{N\cdot m}),
  • L é o comprimento do eixo (unidade \mathrm{m}),
  • G é o módulo de elasticidade transversal (unidade \mathrm{Pa}),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (unidade \mathrm{m^4}).
Explicação curta: essa fórmula vem da relação entre deformação de cisalhamento e torque em vigas de torção lineares; intuitivamente, quanto maior G ou J, menor será o ângulo para o mesmo torque e comprimento.

Passo 3

Para uma seção circular oca (casco cilíndrico), o momento polar de inércia J é dado por:
J = \int_{A} r^{2}\,dA.
Fazendo a integral em coordenadas polares da largura entre R_i e R_o obtém-se a forma fechada:
J = \frac{\pi}{2}\,\bigl(R_{o}^{4} - R_{i}^{4}\bigr),
onde R_{o} é o raio externo e R_{i} é o raio interno. Aqui J mede “quantidade de material afastado do centro” em termos que interessam à torção.

Passo 4

Convertemos todos os dados para unidades SI consistentes (m, N, Pa):
  • T = 3{,}5\\ \mathrm{kNm} = 3{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m} = 3500\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • L = 800\\ \mathrm{mm} = 0{,}800\\ \mathrm{m}.
  • G = 28\\ \mathrm{GPa} = 28\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • R_{o} = 90\\ \mathrm{mm} = 0{,}090\\ \mathrm{m}.
  • R_{i} = 75\\ \mathrm{mm} = 0{,}075\\ \mathrm{m}.
(Importante: fiz explicitamente estas conversões para evitar erro de escala — sempre cheque unidades antes de aplicar fórmulas.)

Passo 5

Calcular R_{o}^{4} e R_{i}^{4} passo a passo:
R_{o} = 0{,}090\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad R_{o}^{2} = 0{,}090^{2} = 0{,}0081,
R_{o}^{4} = 0{,}0081^{2} = 0{,}00006561.
R_{i} = 0{,}075\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad R_{i}^{2} = 0{,}075^{2} = 0{,}005625,
R_{i}^{4} = 0{,}005625^{2} = 0{,}000031640625.
Diferença:
R_{o}^{4}-R_{i}^{4} = 0{,}00006561 - 0{,}000031640625 = 0{,}000033969375.

Passo 6

Calcular J usando a fórmula:
J = \frac{\pi}{2}\,\bigl(R_{o}^{4} - R_{i}^{4}\bigr) = \frac{\pi}{2}\times 0{,}000033969375.
Agora o valor numérico:
J \approx 1{,}57079632679\times 0{,}000033969375 \approx 0{,}000053334\\ \mathrm{m^{4}}.
(Arredondei a 6 algarismos significativos para manter precisão adequada: J \approx 5{,}3334\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}.)

Passo 7

Calcular o ângulo \theta com a fórmula \theta = \dfrac{T L}{G J}.
Primeiro o numerador:
T\,L = 3500\\ \mathrm{N\cdot m} \times 0{,}800\\ \mathrm{m} = 2800\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.
O denominador:
G\,J = 28\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} \times 0{,}000053334\\ \mathrm{m^{4}} \approx 1{,}493353\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.
Portanto
\theta = \frac{2800}{1{,}493353\times10^{6}} \approx 0{,}001875\\ \text{rad}.

Passo 8

Interpretação e conversões úteis:
  • Em radianos: \theta \approx 0{,}001875\\ \text{rad}.
  • Em milésimos de radiano: \theta \approx 1{,}875\\ \text{mrad}.
  • Em graus (para intuição): \theta \times \dfrac{180}{\pi} \approx 0{,}001875\times57{,}2958 \approx 0{,}1074^\circ.
Comentário amigo: o valor é pequeno (cerca de 0{,}11^\circ), o que faz sentido — eixos relativamente curtos e seções com raio considerável giram pouco sob o torque dado. Boa notícia: o resultado é razoável e tem unidades consistentes.

Resposta

\theta = 0{,}001875\\ \text{rad} \approx 0{,}1074^\circ

Exercícios relacionados