- Um eixo mono-engastado com seção transversal triangular vazada e 800 mm de comprimento está submetido a um torque anti-horário de
em sua extremidade livre. Sabendo que o eixo é feito de uma liga de alumínio que apresenta módulo de elasticidade transversal G de 28 GPa , determine:
b)
ângulo de torção em sua extremidade livre. Considere
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ângulo de torção na extremidade livre do eixo. Informações dadas (peguei explicitamente alguns valores do enunciado e da imagem):
- Torque aplicado:
(peguei este valor do enunciado). - Comprimento do eixo:
(peguei este valor do enunciado). - Módulo de elasticidade transversal:
(dado). - Da imagem da seção transversal peguei:
- Raio externo:
. - Raio interno:
.
- Raio externo:
O que se pede aqui (parte b): calcular o ângulo de torção na extremidade livre, ou seja,
no ponto livre.
Passo 2
Fórmula básica para ângulo de torção em um eixo prismático submetido a um torque constante:
onde:
-
é o ângulo de torção (em radianos), -
é o torque aplicado (unidade ), -
é o comprimento do eixo (unidade ), -
é o módulo de elasticidade transversal (unidade ), -
é o momento polar de inércia da seção transversal (unidade ).
Explicação curta: essa fórmula vem da relação entre deformação de cisalhamento e torque em vigas de torção lineares; intuitivamente, quanto maior
ou
, menor será o ângulo para o mesmo torque e comprimento.
Passo 3
Para uma seção circular oca (casco cilíndrico), o momento polar de inércia
é dado por:
Fazendo a integral em coordenadas polares da largura entre
e
obtém-se a forma fechada:
onde
é o raio externo e
é o raio interno. Aqui
mede “quantidade de material afastado do centro” em termos que interessam à torção.
Passo 4
Convertemos todos os dados para unidades SI consistentes (m, N, Pa):
(Importante: fiz explicitamente estas conversões para evitar erro de escala — sempre cheque unidades antes de aplicar fórmulas.)
Passo 5
Calcular
e
passo a passo:
Diferença:
Passo 6
Calcular
usando a fórmula:
Agora o valor numérico:
(Arredondei a 6 algarismos significativos para manter precisão adequada:
.)
Passo 7
Calcular o ângulo
com a fórmula
.
Primeiro o numerador:
O denominador:
Portanto
Passo 8
Interpretação e conversões úteis:
- Em radianos:
- Em milésimos de radiano:
- Em graus (para intuição):
Comentário amigo: o valor é pequeno (cerca de
), o que faz sentido — eixos relativamente curtos e seções com raio considerável giram pouco sob o torque dado. Boa notícia: o resultado é razoável e tem unidades consistentes.