Um bloco é solto sobre uma mola que se encontra 20 cm abaixo. A constante elástica da mola vale 200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Se a mola é comprimida de 15 cm , calcule a massa do bloco.

Passo 1

O enunciado pede a massa do bloco. Dados fornecidos (vou listar claramente):
k = 200\\ \mathrm{N/m}
\text{distância inicial entre bloco e topo da mola} = 20\\ \mathrm{cm}â
\text{compressão máxima da mola} = 15\\ \mathrm{cm}ãá
Pergunta: qual é a massa do bloco?

Passo 2

Primeiro convertamos comprimentos para o SI (metros), porque as constantes estão em N/m:
20\\ \mathrm{cm} = 0{,}20\\ \mathrm{m},\qquad 15\\ \mathrm{cm} = 0{,}15\\ \mathrm{m}.
Defino variáveis:
h_0 = 0{,}20\\ \mathrm{m}\quad(\text{altura inicial do bloco acima do topo não comprimido da mola}),ã
x = 0{,}15\\ \mathrm{m}\quad(\text{compressão máxima da mola}),ãá
k = 200\\ \mathrm{N/m},\qquad g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Qual princípio físico usar? Aqui a ideia é simples e muito utilizada: conservação da energia mecânica (sem atrito nem perdas). Vou explicar as energias envolvidas:
  • Energia potencial gravitacional: para um corpo de massa \,m\, a uma altura \,y\, acima de uma referência, a energia é \,U_g = m g y\,. Aqui escolhemos como referência o topo da mola não comprimida, então a energia gravitacional inicial é m g h_0.
  • Energia potencial elástica da mola (Lei de Hooke): quando a mola é comprimida de \,x\, a energia armazenada é \,U_s = \tfrac{1}{2} k x^2\,.
    No ponto de máxima compressão a velocidade é zero, logo a energia cinética é nula. Portanto, a perda de energia gravitacional desde o início até o máximo de compressão virou energia elástica:
\text{energia perdida pela gravidade} = \text{energia armazenada na mola}.
Em termos algébricos isso fica:
m g (h_0 + x) = \tfrac{1}{2} k x^2.
Observação didática: é (h_0 + x) porque o corpo cai h_0 até atingir o topo não comprimido da mola e então desce mais x enquanto comprime a mola — total de deslocamento vertical relativo à referência.

Passo 4

Agora escrevo explicitamente a equação de conservação que usarei para encontrar m:
m g (h_0 + x) = \tfrac{1}{2} k x^2.
Isolando m:
m = \dfrac{\tfrac{1}{2} k x^2}{g(h_0 + x)}.

Passo 5

Calculando passo a passo os termos numéricos.
Primeiro a energia elástica:
x^2 = (0{,}15)^2 = 0{,}0225\\ \mathrm{m^2}.
\tfrac{1}{2} k x^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 200\cdot 0{,}0225 = 100\cdot 0{,}0225 = 2{,}25\\ \mathrm{J}.
Agora o produto g(h_0+x):
h_0 + x = 0{,}20 + 0{,}15 = 0{,}35\\ \mathrm{m},
g(h_0 + x) = 9{,}8\cdot 0{,}35 = 3{,}43\\ \mathrm{m/s^2}\cdot\mathrm{m} = 3{,}43\\ \mathrm{(units\\ consistent)}.

Passo 6

Agora a massa:
m = \dfrac{2{,}25}{3{,}43}\\ \mathrm{kg} \approx 0{,}6557\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
m \approx 0{,}656\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Checagem rápida: se usássemos g\approx 10\\ \mathrm{m/s^2} teríamos m=2{,}25/(10\cdot0{,}35)=2{,}25/3{,}5\approx0{,}643\\ \mathrm{kg}, valor próximo — ou seja, a ordem de grandeza está coerente. Também confirmamos que unidades dão kg.

Resposta

m \approx 0{,}656\\ \mathrm{kg}

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