(2,0) Uma partícula \alpha (alfa) é o núcleo do átomo de hélio. Ela possui massa m=6,64 \times 10^{-27} k g e carga q=+2 e, sendo e o valor da carga do elétron. Compare a força de repulsão elétrica entre duas partículas \alpha com a força de atração gravitacional entre elas.

Passo 1

O enunciado pede que a gente compare a força de repulsão elétrica entre duas partículas \alpha com a força de atração gravitacional entre elas. Informação fornecida pelo enunciado:
\displaystyle m = 6{,}64\times 10^{-27}\\ \text{kg} é a massa de cada partícula \alpha.
\displaystyle q = +2e é a carga de cada partícula, sendo \displaystyle e a carga do elétron. Vou usar o valor numérico de \displaystyle e nas contas.
O objetivo concreto é obter uma razão numérica entre as duas forças (ou seja, quantas vezes a força elétrica é maior que a gravitacional). Neste passo eu apenas identifiquei o que é pedido e os dados; ainda não resolvi nada.

Passo 2

Apresento a lei da força elétrica (Lei de Coulomb) e explico cada parte:
A força de repulsão elétrica entre duas cargas pontuais é dada por
F_{\text{el}} = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2},
onde:
  • \displaystyle F_{\text{el}} é a magnitude da força elétrica (em newtons, N),
  • \displaystyle k é a constante eletrostática \displaystyle k \approx 8{,}9875517923\times10^{9}\\ \text{N·m}^2\text{/C}^2,
  • \displaystyle q_1,q_2 são as cargas (em coulombs, C),
  • \displaystyle r é a distância entre as cargas (em metros, m).
    Breve explicação didática: a fórmula diz que a força elétrica decai com o quadrado da distância ( \displaystyle 1/r^2) e é proporcional ao produto das cargas.

Passo 3

Apresento a lei da gravitação (Lei de Newton) e explico cada parte:
A força de atração gravitacional entre duas massas puntiformes é
F_{\text{g}} = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2},
onde:
  • \displaystyle F_{\text{g}} é a magnitude da força gravitacional (em newtons, N),
  • \displaystyle G é a constante gravitacional \displaystyle G \approx 6{,}67430\times10^{-11}\\ \text{N·m}^2\text{/kg}^2,
  • \displaystyle m_1,m_2 são as massas (em quilogramas, kg),
  • \displaystyle r é a distância entre as massas (em metros, m).
    Explicação: assim como na força elétrica, a gravidade também decai com \displaystyle 1/r^2 e é proporcional ao produto das massas.

Passo 4

Como temos duas partículas idênticas, podemos colocar \displaystyle q_1=q_2=q e \displaystyle m_1=m_2=m. Então:
F_{\text{el}} = k\,\frac{q^2}{r^2}, \qquad F_{\text{g}} = G\,\frac{m^2}{r^2}.
Se quisermos comparar as magnitudes, faz sentido formar a razão \displaystyle \frac{F_{\text{el}}}{F_{\text{g}}}. Observe que o fator \displaystyle 1/r^2 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então ele se cancela e a razão é independente da distância entre as partículas:
\frac{F_{\text{el}}}{F_{\text{g}}} = \frac{k\,q^2 / r^2}{G\,m^2 / r^2} = \frac{k\,q^2}{G\,m^2}.
Comentário didático: isso significa que, para partículas com as mesmas cargas e massas, a comparação entre forças elétricas e gravitacionais não depende de quão longe elas estão — é uma razão fixa determinada apenas por constantes e pelas propriedades das partículas.

Passo 5

Vamos substituir os valores numéricos. Primeiro a carga de uma partícula \alpha:
\text{o enunciado deu } q = 2e,\qquad e=1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \text{C}.
Logo
q = 2\cdot 1{,}602176634\times 10^{-19} \\ \text{C} = 3{,}204353268\times 10^{-19}\\ \text{C}.

Passo 6

Calculo de \displaystyle q^2:
q^2 = \bigl(3{,}204353268\times 10^{-19}\bigr)^2 = 1{,}026789\ldots\times 10^{-37}\\ \text{C}^2.
(Arredondei para manter números manejáveis; guardamos a ordem de grandeza com precisão suficiente.)

Passo 7

Calculo de \displaystyle m^2 com \displaystyle m = 6{,}64\times 10^{-27}\\ \text{kg}:
m^2 = \bigl(6{,}64\times 10^{-27}\bigr)^2 = 4{,}40896\times 10^{-53}\\ \text{kg}^2.

Passo 8

Agora monto a razão usando \displaystyle k e \displaystyle G. Recordando os valores:
k \approx 8{,}9875517923\times 10^{9}\\ \text{N·m}^2\text{/C}^2, \qquad G \approx 6{,}67430\times 10^{-11}\\ \text{N·m}^2\text{/kg}^2.
O numerador é
k\,q^2 \approx 8{,}9875517923\times10^{9}\times 1{,}026789\times10^{-37} \approx 9{,}232\times10^{-28}.
O denominador é
G\,m^2 \approx 6{,}67430\times10^{-11}\times 4{,}40896\times10^{-53} \approx 2{,}9429\times10^{-63}.

Passo 9

Faço a divisão para obter a razão:
\frac{F_{\text{el}}}{F_{\text{g}}} = \frac{k\,q^2}{G\,m^2} \approx \frac{9{,}232\times10^{-28}}{2{,}9429\times10^{-63}} \approx 3{,}14\times10^{35}.
Interpretação: a força elétrica de repulsão entre duas partículas \alpha é da ordem de 10^{35} vezes maior que a atração gravitacional entre elas — ou seja, a interação elétrica domina completamente a interação gravitacional nessa escala.

Resposta

A força de repulsão elétrica é aproximadamente \;3{,}14\times10^{35}\; vezes maior que a força de atração gravitacional.

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