Um bloco é solto sobre uma mola que se encontra 30 cm abaixo. A constante elástica da mola vale 200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Se a mola é comprimida de 10 cm , calcule a massa do bloco.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • A mola está 30\\ \text{cm} abaixo do bloco inicialmente. Ou seja, a distância entre o bloco (posição inicial) e a parte superior da mola descomprimida é 0,30\\ \mathrm{m}.
    • A mola é comprimida 10\\ \text{cm} quando o bloco atinge a máxima compressão. Ou seja, a compressão máxima é x=0,10\\ \mathrm{m}.
    • Constante elástica da mola: k=200\\ \mathrm{N/m}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a massa m do bloco.

Passo 2

Entender a física básica que vamos usar (explicação didática).
  • Quando o bloco é solto do repouso, ele cai e atinge a mola, comprimindo-a até a máxima compressão. No ponto de máxima compressão a velocidade do bloco é zero, então toda a energia mecânica inicial (energia potencial gravitacional) foi transformada em energia potencial elástica da mola (assumindo ausência de atrito e perdas).
  • Energia potencial gravitacional: para um corpo de massa m deslocado verticalmente por uma altura h em relação a uma referência, a energia é \;m g h\;, onde:
    • m é a massa (kg),
    • g é a aceleração da gravidade (usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} como valor aproximado),
    • h é a altura (m).
  • Energia potencial elástica da mola (para compressão x): \;\dfrac{1}{2} k x^2\;, onde:
    • k é a constante elástica (N/m),
    • x é a compressão (m).
  • Aplicando conservação de energia entre o início (bloco no repouso, mola descomprimida) e o instante de máxima compressão (velocidade zero): m g H = \frac{1}{2} k x^2,onde H é a distância total que o bloco desceu até o ponto de máxima compressão. Aqui H é a soma da queda até a mola descomprimida ( 0,30\\ \mathrm{m}) mais a compressão da mola ( 0,10\\ \mathrm{m}): H = 0,30 + 0,10 = 0,40\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Escrever a equação com os valores e isolar m.
  • Equação de conservação de energia: m g H = \frac{1}{2} k x^2.
  • Isolando m: m = \frac{\dfrac{1}{2} k x^2}{g H}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos (fazendo as conversões de cm para m) e calcular passo a passo.
  • Valores:
    • k = 200\\ \mathrm{N/m}
    • x = 0,10\\ \mathrm{m} (compressão)
    • H = 0,40\\ \mathrm{m} (queda total: 0,30+0,10)
    • g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}
  • Calcular o termo da mola: \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2}\cdot 200 \cdot (0,10)^2.Primeiro (0,10)^2 = 0,01.
    Então 200\cdot 0,01 = 2.
    E \dfrac{1}{2}\cdot 2 = 1.
    Logo \frac{1}{2} k x^2 = 1\\ \mathrm{J}.
  • Calcular o produto gH: g H = 9,8 \cdot 0,40 = 3,92\\ \mathrm{m/s^2}\cdot\mathrm{m} = 3,92\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
  • Finalmente: m = \frac{1}{3,92} \approx 0,2551\\ \mathrm{kg}.Arredondando razoavelmente: m \approx 0,255\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Verificação rápida de unidades e suposições.
  • Unidade: energia da mola tem unidade de joule (N·m) e m g H também dá joule, então a equação está dimensionalmente consistente.
  • Suposições feitas: não há perdas por atrito na superfície nem resistência do ar; a mola está ideal (segue exatamente \tfrac{1}{2}k x^2); g aproximado por 9,8\\ \mathrm{m/s^2}. Se houvesse perdas reais, a massa calculada seria um pouco maior.

Resposta

m \approx 0,255\\ \mathrm{kg}

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