Uma pequena bola é largada da beira de uma tigela hemisférica de raio 10 cm . Desprezando o atrito, qual será a velocidade da bola ao chegar ao fundo da tigela?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Raio da tigela hemisférica: R=10\\ \text{cm}.
  • A bola é largada da beira (borda) da tigela e chega ao fundo sem atrito.
  • Pergunta: qual a velocidade da bola ao chegar ao fundo da tigela?
Informações úteis que já estão no enunciado:
  • Despreza-se o atrito (logo não há perda de energia por atrito).
  • Não foi dada a massa da bola (se aparecer, provavelmente vai cancelar).

Passo 2

Escolhendo um referencial de energia e escrevendo as expressões de energia (aqui explico cuidadosamente os conceitos que vou usar).
  • Energia potencial gravitacional: a energia associada à posição vertical de um objeto perto da superfície da Terra é dada por \,U=m g h\,, onde:
    • m é a massa do objeto (em kg),
    • g é a aceleração da gravidade (vou usar \,g=9{,}81\\ \text{m/s}^2\,),
    • h é a altura do objeto medida a partir de um nível de referência (em m).
  • Energia cinética de translação: a energia associada ao movimento linear é \,K=\tfrac{1}{2}m v^{2}\,, onde:
    • v é a velocidade do centro de massa (em m/s).
Como não há atrito nem outras forças não-conservativas, a energia mecânica total se conserva. Ou seja, a variação da energia potencial transforma-se em energia cinética.

Passo 3

Determinar a variação de altura entre a borda (ponto inicial) e o fundo (ponto final).
  • Geometricamente, numa tigela hemisférica a borda está no plano equatorial da esfera e o fundo está a uma distância igual ao raio abaixo desse plano. Portanto a queda vertical do ponto da borda até o fundo é exatamente \,R\,.
  • Converter o raio para o SI: R=10\\ \text{cm}=0{,}10\\ \text{m}.

Passo 4

Aplicar a conservação de energia entre a borda (inicial) e o fundo (final).
  • Escolho nível de energia potencial nula no fundo, então a energia potencial inicial é U_{\text{inicial}}=m g R.
  • A energia cinética inicial é zero (a bola é largada do repouso): K_{\text{inicial}}=0.
  • No fundo toda essa energia potencial virou energia cinética: K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
  • Conservação da energia: m g R = \tfrac{1}{2}m v^{2}.
  • Cancelando m (por isso a massa não é necessária) e isolando v: v=\sqrt{2 g R}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (mostrando as contas para fazer sem calculadora, até onde for prático).
  • Primeiro calcular o produto dentro da raiz: 2 g R = 2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}10 = 1{,}962.
  • Portanto v=\sqrt{1{,}962}\approx 1{,}4007\\ \text{m/s}.
  • Arredondando de forma prática para duas casas significativas: v\approx 1{,}40\\ \text{m/s}.
Observação didática curta: se a bola rolasse sem deslizar (situação diferente, que exigiria atrito estático suficiente), parte da energia iria para rotação e a velocidade translacional no fundo seria menor; nesse exercício porém foi pedido para desprezar atrito, então usamos apenas a conservação entre energia potencial e energia cinética translacional.

Resposta

v\approx 1{,}40\\ \text{m/s}

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