Uma pequena bola é largada da beira de uma tigela hemisférica de raio 10 cm . Desprezando o atrito, qual será a velocidade da bola ao chegar ao fundo da tigela?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Raio da tigela hemisférica:
. - A bola é largada da beira (borda) da tigela e chega ao fundo sem atrito.
- Pergunta: qual a velocidade da bola ao chegar ao fundo da tigela?
Informações úteis que já estão no enunciado:
- Despreza-se o atrito (logo não há perda de energia por atrito).
- Não foi dada a massa da bola (se aparecer, provavelmente vai cancelar).
Passo 2
Escolhendo um referencial de energia e escrevendo as expressões de energia (aqui explico cuidadosamente os conceitos que vou usar).
- Energia potencial gravitacional: a energia associada à posição vertical de um objeto perto da superfície da Terra é dada por
, onde: -
é a massa do objeto (em kg), -
é a aceleração da gravidade (vou usar ), -
é a altura do objeto medida a partir de um nível de referência (em m).
-
- Energia cinética de translação: a energia associada ao movimento linear é
, onde: -
é a velocidade do centro de massa (em m/s).
-
Como não há atrito nem outras forças não-conservativas, a energia mecânica total se conserva. Ou seja, a variação da energia potencial transforma-se em energia cinética.
Passo 3
Determinar a variação de altura entre a borda (ponto inicial) e o fundo (ponto final).
- Geometricamente, numa tigela hemisférica a borda está no plano equatorial da esfera e o fundo está a uma distância igual ao raio abaixo desse plano. Portanto a queda vertical do ponto da borda até o fundo é exatamente
. - Converter o raio para o SI:
Passo 4
Aplicar a conservação de energia entre a borda (inicial) e o fundo (final).
- Escolho nível de energia potencial nula no fundo, então a energia potencial inicial é
- A energia cinética inicial é zero (a bola é largada do repouso):
- No fundo toda essa energia potencial virou energia cinética:
- Conservação da energia:
- Cancelando
(por isso a massa não é necessária) e isolando :
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (mostrando as contas para fazer sem calculadora, até onde for prático).
- Primeiro calcular o produto dentro da raiz:
- Portanto
- Arredondando de forma prática para duas casas significativas:
Observação didática curta: se a bola rolasse sem deslizar (situação diferente, que exigiria atrito estático suficiente), parte da energia iria para rotação e a velocidade translacional no fundo seria menor; nesse exercício porém foi pedido para desprezar atrito, então usamos apenas a conservação entre energia potencial e energia cinética translacional.