Uma placa está sustentada por três cabos nos pontos A(1,0,2), B(0,3,1) e C(2,2,0). Uma força externa F=(-5 i+8 j-10 k) N age sobre a placa. Determine as tensões nos três cabos para garantir o equilíbrio da placa.

Passo 1

Beleza, resumindo o problema: temos uma placa presa por três cabos nos pontos
A(1,0,2), B(0,3,1) e C(2,2,0) e sobre ela age uma força externa
.
O que a gente usa aqui é a ideia de equilíbrio estático de um corpo rígido: a soma vetorial de todas as forças tem de dar zero.
Para isso, vamos precisar:
  1. Determinar a direção de cada cabo (vamos supor que a outra extremidade de cada cabo está fixa na origem (0,0,0)).
  2. Escrever o vetor unitário de cada cabo.
  3. Montar em x, y e z.
  4. Resolver o sistema para as tensões .

Passo 2

Primeiro, os vetores posição dos pontos (da origem até os pontos da placa):
rA = lang<=1,0,2rang<=, rB = lang<=0,3,1rang<=, rC = lang<=2,2,0rang<=
As normas:
| rA|=raiz1^2+0^2+2^2=raiz5, | rB|=raiz0+9+1=raiz10, | rC|=raiz4+4+0=raiz8=2raiz2
Como o cabo puxa a placa em direção à origem, o vetor unitário de tração em A é
Analogamente:

Passo 3

Chamámos as tensões de TA, uA + TB, uB + TC, uC +(-5,hati+8,hatj-10,hat k)=0 . A soma das forças é
Projetando em cada eixo:
eixo x:
-TAraiz5 ;-;TCraiz2;-;5 ;=;0 Longrightarrow TAraiz5+TCraiz2=-5
eixo y:
-3,TBraiz10;-;TCraiz2;+;8;=;0 Longrightarrow 3,TBraiz10+TCraiz2=8
eixo z:
-2,TAraiz5;-;TBraiz10;-;10;=;0 Longrightarrow 2,TAraiz5+TBraiz10=-10

Passo 4

Esse sistema triangular pode ser resolvido passo a passo (substituição).
Se fizer as contas direitinho, chega-se a
TC=8raiz27, TB=16raiz107, TA=-43raiz57
O sinal “–” em só indica que, na nossa hipótese de direção, a tensão real ficaria revertida; em módulo:

Resposta

Tensão no cabo em A:
Tensão no cabo em B:
Tensão no cabo em C:

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