Uma placa está sustentada por três cabos nos pontos
e
. Uma força externa
age sobre a placa. Determine as tensões nos três cabos para garantir o equilíbrio da placa.
Passo 1
Beleza, resumindo o problema: temos uma placa presa por três cabos nos pontos
A(1,0,2), B(0,3,1) e C(2,2,0) e sobre ela age uma força externa
.
O que a gente usa aqui é a ideia de equilíbrio estático de um corpo rígido: a soma vetorial de todas as forças tem de dar zero.
Para isso, vamos precisar:
A(1,0,2), B(0,3,1) e C(2,2,0) e sobre ela age uma força externa
.
O que a gente usa aqui é a ideia de equilíbrio estático de um corpo rígido: a soma vetorial de todas as forças tem de dar zero.
Para isso, vamos precisar:
- Determinar a direção de cada cabo (vamos supor que a outra extremidade de cada cabo está fixa na origem (0,0,0)).
- Escrever o vetor unitário de cada cabo.
- Montar
em x, y e z. - Resolver o sistema para as tensões
.
Passo 2
Primeiro, os vetores posição dos pontos (da origem até os pontos da placa):
As normas:
Como o cabo puxa a placa em direção à origem, o vetor unitário de tração em A é
Analogamente:
Passo 3
Chamámos as tensões de
. A soma das forças é
Projetando em cada eixo:
eixo x:
eixo y:
eixo z:
Passo 4
Esse sistema triangular pode ser resolvido passo a passo (substituição).
Se fizer as contas direitinho, chega-se a
Se fizer as contas direitinho, chega-se a
O sinal “–” em
só indica que, na nossa hipótese de direção, a tensão real ficaria revertida; em módulo:
Resposta
Tensão no cabo em A:
Tensão no cabo em B:
Tensão no cabo em C:
Tensão no cabo em B:
Tensão no cabo em C: