Uma bobina com 80 voltas, raio igual a 5,00 \mathrm{~cm} e uma resistência igual a 30,0 Ohms está em uma regiẫo que tem um campo magnético normal ao plano da bobina. A que taxa deve variar a intensidade do campo magnético para produzir uma corrente de 4,00 \mathrm{~A} na bobina?
O enunciado pede que a gente encontre a taxa de variação do campo magnético necessária para que uma bobina tenha uma corrente de 4,00\\ \mathrm{A}. Informações dadas:
O campo magnético é normal ao plano da bobina (isso simplifica a expressão do fluxo). A pergunta é: qual é \dfrac{dB}{dt} (ou sua magnitude) necessária para produzir essa corrente?
Passo 2
Apresentando as fórmulas e conceitos que vamos usar, explicados passo a passo.
Faraday diz que a fem induzida \xi numa bobina é igual à taxa de variação do fluxo magnético total, com sinal de Lenz:
\xi = -\frac{d\Phi_{B}}{dt}.
Aqui \xi é a força eletromotriz induzida (em volts) e \Phi_{B} é o fluxo magnético total (em weber, \mathrm{Wb}). O sinal negativo indica apenas a direção da fem (Lenz); para calcular a magnitude da taxa de variação podemos trabalhar com valores absolutos:
|\xi| = \left|\frac{d\Phi_{B}}{dt}\right|.
Além disso, pela lei de Ohm aplicada à bobina (assumindo resistência ôhmica total R), a fem induzida em magnitude causa uma corrente
|\xi| = I\,R.
Ou seja, podemos calcular a fem necessária a partir de I e R.
Passo 3
Expressando o fluxo magnético total da bobina.
Para uma bobina com N voltas e área A de cada volta, quando o campo B é perpendicular ao plano da bobina, o fluxo total é
\Phi_{B} = N B A.
A área de uma espira circular de raio r é A=\pi r^{2}. Substituindo:
\Phi_{B} = N B \pi r^{2}.
Aqui B é o módulo do campo magnético (em tesla), r em metros, N adimensional e \Phi_{B} em \mathrm{Wb}.
Passo 4
Derivando o fluxo em relação ao tempo para relacionar com \dfrac{dB}{dt}.
Como N e r (logo A) são constantes, derivando \Phi_{B} obtemos
\frac{d\Phi_{B}}{dt} = N \pi r^{2}\,\frac{dB}{dt}.
Tomando magnitudes e usando a relação de Faraday em módulo:
|\xi| = \left| \frac{d\Phi_{B}}{dt} \right| = N \pi r^{2}\,\left|\frac{dB}{dt}\right|.
Passo 5
Calcular a fem necessária a partir da corrente e da resistência, e isolar \dfrac{dB}{dt}.
Pela lei de Ohm:
|\xi| = I R = 4{,}00\\ \mathrm{A}\times 30{,}0\\ \Omega = 120\\ \mathrm{V}.
Agora isolamos \left|\dfrac{dB}{dt}\right| na equação do passo anterior:
O valor acima é a magnitude da taxa de variação do campo magnético necessária. O sinal (positivo ou negativo para \dfrac{dB}{dt}) dependeria da direção do campo e da direção da corrente desejada — como o enunciado só pede a taxa, reportamos a magnitude. O sinal real deveria obedecer à regra de Lenz para que a fem induzida gere a corrente na direção exigida, mas para a maioria dos problemas de prova a resposta numérica pedida é a magnitude em \mathrm{T/s}.