Uma bobina com 80 voltas, raio igual a 5,00 \mathrm{~cm} e uma resistência igual a 30,0 Ohms está em uma regiẫo que tem um campo magnético normal ao plano da bobina. A que taxa deve variar a intensidade do campo magnético para produzir uma corrente de 4,00 \mathrm{~A} na bobina?
\begin{gathered} \operatorname{como} \xi=-\frac{d \phi_{B}}{d t} \text { e }|\xi|=I R=120 \mathrm{~V} \\\ \phi_{B}=N B A=N B \pi r^{2} \Rightarrow B=\frac{\phi_{B}}{N \pi r^{2}} \quad \frac{d B}{d t}=\frac{1}{N \pi r^{2}} \frac{d \phi_{B}}{d t} \\\ \qquad \left.\frac{d B}{d t}\left|=\frac{1}{N \pi r^{2}}\right| \xi \right\rvert\,=191 \mathrm{~T} / \mathrm{s} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a taxa de variação do campo magnético necessária para que uma bobina tenha uma corrente de 4,00\\ \mathrm{A}. Informações dadas:
N=80\\ (\text{número de voltas}),\quad r=5,00\\ \mathrm{cm}=0,050\\ \mathrm{m},\quad R=30,0\\ \Omega,\quad I=4,00\\ \mathrm{A}.ú
O campo magnético é normal ao plano da bobina (isso simplifica a expressão do fluxo). A pergunta é: qual é \dfrac{dB}{dt} (ou sua magnitude) necessária para produzir essa corrente?

Passo 2

Apresentando as fórmulas e conceitos que vamos usar, explicados passo a passo.
Faraday diz que a fem induzida \xi numa bobina é igual à taxa de variação do fluxo magnético total, com sinal de Lenz:
\xi = -\frac{d\Phi_{B}}{dt}.
Aqui \xi é a força eletromotriz induzida (em volts) e \Phi_{B} é o fluxo magnético total (em weber, \mathrm{Wb}). O sinal negativo indica apenas a direção da fem (Lenz); para calcular a magnitude da taxa de variação podemos trabalhar com valores absolutos:
|\xi| = \left|\frac{d\Phi_{B}}{dt}\right|.
Além disso, pela lei de Ohm aplicada à bobina (assumindo resistência ôhmica total R), a fem induzida em magnitude causa uma corrente
|\xi| = I\,R.
Ou seja, podemos calcular a fem necessária a partir de I e R.

Passo 3

Expressando o fluxo magnético total da bobina.
Para uma bobina com N voltas e área A de cada volta, quando o campo B é perpendicular ao plano da bobina, o fluxo total é
\Phi_{B} = N B A.
A área de uma espira circular de raio r é A=\pi r^{2}. Substituindo:
\Phi_{B} = N B \pi r^{2}.
Aqui B é o módulo do campo magnético (em tesla), r em metros, N adimensional e \Phi_{B} em \mathrm{Wb}.

Passo 4

Derivando o fluxo em relação ao tempo para relacionar com \dfrac{dB}{dt}.
Como N e r (logo A) são constantes, derivando \Phi_{B} obtemos
\frac{d\Phi_{B}}{dt} = N \pi r^{2}\,\frac{dB}{dt}.
Tomando magnitudes e usando a relação de Faraday em módulo:
|\xi| = \left| \frac{d\Phi_{B}}{dt} \right| = N \pi r^{2}\,\left|\frac{dB}{dt}\right|.

Passo 5

Calcular a fem necessária a partir da corrente e da resistência, e isolar \dfrac{dB}{dt}.
Pela lei de Ohm:
|\xi| = I R = 4{,}00\\ \mathrm{A}\times 30{,}0\\ \Omega = 120\\ \mathrm{V}.
Agora isolamos \left|\dfrac{dB}{dt}\right| na equação do passo anterior:
\left|\frac{dB}{dt}\right| = \frac{|\xi|}{N \pi r^{2}}.
Substituindo os valores numéricos (tudo em unidades do SI):
\left|\frac{dB}{dt}\right| = \frac{120}{80\cdot\pi\cdot(0{,}050)^{2}}\\ \mathrm{T/s}.

Passo 6

Fazer as contas passo a passo (sem pular etapas).
Calcule r^{2}:
(0{,}050)^{2}=0{,}0025.
Multiplicando N por r^{2}:
80\cdot 0{,}0025 = 0{,}200.
Multiplicando por \pi:
80\pi(0{,}050)^{2} = 0{,}200\pi \approx 0{,}62831853.
Finalmente dividindo:
\left|\frac{dB}{dt}\right| = \frac{120}{0{,}200\pi} \approx 191{,}0\\ \mathrm{T/s}.

Passo 7

Interpretação e observação sobre o sinal.
O valor acima é a magnitude da taxa de variação do campo magnético necessária. O sinal (positivo ou negativo para \dfrac{dB}{dt}) dependeria da direção do campo e da direção da corrente desejada — como o enunciado só pede a taxa, reportamos a magnitude. O sinal real deveria obedecer à regra de Lenz para que a fem induzida gere a corrente na direção exigida, mas para a maioria dos problemas de prova a resposta numérica pedida é a magnitude em \mathrm{T/s}.

Resposta

1,91\times10^{2}\\ \mathrm{T/s}

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