Determine o fluxo magnético através de um solenoide que tem 40 cm de comprimento, 2,5 \mathrm{~cm} de raio, 600 voltas e conduz uma corrente de 7,5 \mathrm{~A}
\begin{aligned} & \phi_{m}=N B A \text { com } B=\mu_{0} n l, \quad n=\frac{N}{l} \text { e } A=\pi r^{2} \\\ & \phi_{m}=\frac{\mu_{0} N^{2} l \pi r^{2}}{l}=1,66 \times 10^{-2} \mathrm{~Wb} \end{aligned}

Passo 1

O que o problema pede: determinar o fluxo magnético total (ligação de fluxo) através do solenoide, usando a expressão \phi_{m}=N B A.\n
Dados fornecidos pelo enunciado:
l=40\\ \mathrm{cm}=0,40\\ \mathrm{m}
r=2,5\\ \mathrm{cm}=0,025\\ \mathrm{m}
N=600
I=7,5\\ \mathrm{A}
Também usaremos a constante do vácuo
\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
B=\mu_{0} n I,
onde B é o campo magnético no interior de um solenoide longo e perto do centro, \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, n é o número de espiras por unidade de comprimento e I é a corrente. Explicação: um solenoide com muitas espiras produz um campo axial praticamente uniforme no seu interior; a fórmula acima dá esse campo aproximado. Aqui
n=\frac{N}{l},
ou seja, n é quantas espiras existem por metro. O fluxo magnético por espira (uma volta) é
\Phi=B\!A,
onde A é a área da seção transversal da espira. A área de um círculo de raio r é
A=\pi r^{2}.
O enunciado pede a ligação de fluxo total (fluxo combinado para todas as N espiras), que é
\phi_{m}=N\Phi=N B A.

Passo 3

Calcular n, o número de voltas por metro:
n=\frac{N}{l}=\frac{600}{0,40}=1500\\ \mathrm{espiras/m}.

Passo 4

Calcular o campo magnético B usando B=\mu_{0} n I. Substituindo:
B=4\pi\times10^{-7}\cdot1500\cdot7,5.
Fazendo as multiplicações intermediárias: 1500\cdot7,5=11250 e 4\cdot11250=45000, portanto
B=45000\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
Agora avaliando numericamente com \pi\approx3,14159265:
B\approx 45000\cdot3,14159265\times10^{-7}\\ \mathrm{T}\approx1,4137\times10^{-2}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Calcular a área da seção transversal A:
A=\pi r^{2}=\pi(0,025)^{2}=\pi\cdot0,000625\\ \mathrm{m^{2}}\approx0,0019635\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Calcular o fluxo magnético por espira \Phi=B A. É prático usar notação científica para multiplicar:
B\approx1,4137\times10^{-2}\\ \mathrm{T},\qquad A\approx1,9635\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}},
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\Phi=BA\approx(1,4137\times10^{-2})\cdot(1,9635\times10^{-3})\\ \mathrm{Wb}\approx2,7757\times10^{-5}\\ \mathrm{Wb}.

Passo 7

Calcular a ligação de fluxo total \phi_{m}=N\Phi:
\phi_{m}=600\cdot2,7757\times10^{-5}\\ \mathrm{Wb}\approx1,6654\times10^{-2}\\ \mathrm{Wb}.
Arredondando para três algarismos significativos (consistente com os dados),
\phi_{m}\approx1,66\times10^{-2}\\ \mathrm{Wb}.

Resposta

1,66\times10^{-2}\\ \mathrm{Wb}

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