Uma bobina que conduz uma corrente de 5,0 \mathrm{~A} tem a forma de um triângulo retângulo cujos lados medem 30,40 e 50 cm . A bobina é submetida a um campo magnético uniforme de módulo 80 mT paralelo à corrente no lado de 50 cm da bobina. Determine o módulo (a) do momento dipolar magnético da bobina; (b) do torque sobre a bobina.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o módulo do momento dipolar magnético da bobina; (b) o módulo do torque sobre a bobina. \n
Informações fornecidas (todas listadas claramente): \n
  • A bobina conduz corrente I=5,0\\ \mathrm{A}. \n
  • A bobina tem a forma de um triângulo retângulo com lados 30\\ \mathrm{cm}, 40\\ \mathrm{cm} e 50\\ \mathrm{cm}. \n
  • O campo magnético é uniforme com módulo B=80\\ \mathrm{mT}. \n
  • O campo magnético é paralelo à corrente no lado de 50\\ \mathrm{cm} da bobina (ou seja, B está no plano da bobina e paralelo à aresta de 50\\ \mathrm{cm}). \n

Passo 2

Converter todas as unidades para o SI (metros, tesla, etc.) — passo importante para evitar erros. \n
  • Converter comprimentos: \n
    \,30\\ \mathrm{cm} = 0{,}30\\ \mathrm{m} \n
    \,40\\ \mathrm{cm} = 0{,}40\\ \mathrm{m} \n
    \,50\\ \mathrm{cm} = 0{,}50\\ \mathrm{m} \n
  • Converter campo magnético: \n
    \,80\\ \mathrm{mT} = 80\times10^{-3}\\ \mathrm{T} = 0{,}080\\ \mathrm{T} \n

Passo 3

Entender o que é o momento dipolar magnético de uma espira plana e como calculá-lo. \n
Definição prática: para uma espira plana de corrente, o vetor momento dipolar magnético \vec{\mu} tem módulo \mu dado por
\mu = I \, A
onde \,I é a corrente (em ampères) e \,A é a área da espira (em metros quadrados). \n
O vetor \vec{\mu} aponta segundo a regra da mão direita: se os dedos seguem a direção da corrente, o polegar indica o sentido de \vec{\mu}. Aqui só precisamos do módulo \mu. \n

Passo 4

Calcular a área da bobina (triângulo retângulo). \n
Para um triângulo retângulo com catetos a e b, a área é
A=\frac{1}{2}ab,
porque a base e a altura são os catetos. No nosso caso os catetos são 0{,}30\\ \mathrm{m} e 0{,}40\\ \mathrm{m}. \n
Calcule:
A=\frac{1}{2}\times 0{,}30 \times 0{,}40 = \frac{1}{2}\times 0{,}12 = 0{,}06\\ \mathrm{m^2}.
Explicação extra: multiplicamos os catetos para obter o retângulo equivalente 0{,}30\times0{,}40=0{,}12 e então tomamos metade porque o triângulo é metade desse retângulo. \n

Passo 5

Calcular o módulo do momento dipolar magnético usando \mu=I A. \n
Substituindo os valores:
\mu = 5{,}0 \times 0{,}06 = 0{,}30\\ \mathrm{A\cdot m^2}.
Interpretação: isso significa que a espira (com corrente 5{,}0\\ \mathrm{A} e área 0{,}06\\ \mathrm{m^2}) tem momento magnético de magnitude 0{,}30\\ \mathrm{A\cdot m^2}. \n

Passo 6

Entender o torque sobre a bobina: fórmula e geometria do problema. \n
O torque sobre um dipolo magnético num campo uniforme é dado vetorialmente por
\vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B},
e o módulo é
\tau=\mu B \sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{\mu} e \vec{B}. \n
Precisamos encontrar \theta. A bobina é um triângulo plano, então \vec{\mu} é perpendicular ao plano da bobina. O enunciado diz que B é paralelo à aresta de 50\\ \mathrm{cm}, que é uma aresta do triângulo — logo B está no plano da bobina. Portanto \vec{\mu} (perpendicular ao plano) e \vec{B} (no plano) são perpendiculares entre si. Assim
\theta = 90^\circ\quad\Rightarrow\quad \sin\theta = 1.
Observação intuitiva: vetor normal ao plano e qualquer vetor no plano sempre formam 90^\circ. \n

Passo 7

Calcular o módulo do torque usando \tau=\mu B (porque \sin 90^\circ=1). \n
Substituindo \mu=0{,}30\\ \mathrm{A\cdot m^2} e B=0{,}080\\ \mathrm{T}:
\tau = 0{,}30 \times 0{,}080 = 0{,}024\\ \mathrm{N\cdot m}.
Verificação de unidades: \mathrm{A\cdot m^2}\times\mathrm{T} = \mathrm{A\cdot m^2}\times\left(\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A\cdot m}}\right)=\mathrm{N\cdot m}, que é unidade correta para torque. \n

Resposta

(a) \,0{,}30\\ \mathrm{A\cdot m^2}\n
(b) \,0{,}024\\ \mathrm{N\cdot m}

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