Considere um sistema isolado composto de dois corpos que interajam entre si por meio de força central.
Demonstre por meio de cálculo explícito que a energia mecânica total pode ser expressa como
E=\frac{1}{2} \mu \dot{r}^{2}+\frac{1}{2} \frac{l^{2}}{\mu r^{2}}+U(r)

Passo 1

O enunciado dá um sistema isolado com dois corpos que interagem por uma força central e pede para demonstrar a identidade
E=\frac{1}{2}\mu\dot{r}^{2}+\frac{1}{2}\frac{l^{2}}{\mu r^{2}}+U(r).
Lista clara do que temos e do que é pedido:
  • Temos duas massas m_{1} e m_{2} com posições vetoriais \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2}.
  • A interação é central: a energia potencial depende somente da distância entre os corpos, isto é U=U(r) com r=|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}|.
  • O sistema é isolado (sem forças externas).
  • Preciso demonstrar, por cálculo explícito, que a energia mecânica total pode ser escrita na forma dada, em que \mu é a massa reduzida, l é o momento angular associado ao movimento relativo e \dot r é a derivada temporal da separação r.
    Nada mais será assumido sem derivação — a resolução começa agora.

Passo 2

Defino coordenadas convenientes e as massas envolvidas:
  • Massa total M=m_{1}+m_{2}.
  • Centro de massa \mathbf{R} definido por
\mathbf{R}=\frac{m_{1}\mathbf{r}_{1}+m_{2}\mathbf{r}_{2}}{M}.
  • Vetor relativo \mathbf{r} definido por
\mathbf{r}=\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2},
e sua norma r=|\mathbf{r}|.
  • Velocidades correspondentes: \dot{\mathbf{R}} é a velocidade do centro de massa (vou chamá‑la de \mathbf{V}) e \dot{\mathbf{r}} é a velocidade relativa.
  • Massa reduzida \mu definida por
\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{M}.
Explicação curta: \mu é a massa que aparece quando se descreve o movimento relativo; ela combina m_{1} e m_{2} de forma que a energia cinética do sistema separe em movimento do centro de massa mais movimento relativo.

Passo 3

Escrevo a energia cinética total T dos dois corpos:
T=\frac{1}{2}m_{1}\dot{\mathbf{r}}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\dot{\mathbf{r}}_{2}^{2}.
Agora expresso \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2} em termos de \mathbf{R} e \mathbf{r}. Uma decomposição padrão é
\mathbf{r}_{1}=\mathbf{R}+\frac{m_{2}}{M}\mathbf{r},\qquad \mathbf{r}_{2}=\mathbf{R}-\frac{m_{1}}{M}\mathbf{r}.
Derivando temporalmente:
\dot{\mathbf{r}}_{1}=\dot{\mathbf{R}}+\frac{m_{2}}{M}\dot{\mathbf{r}},\qquad \dot{\mathbf{r}}_{2}=\dot{\mathbf{R}}-\frac{m_{1}}{M}\dot{\mathbf{r}}.
Substituo em T e faço as contas com calma (mostrando que os termos mistos se cancelam):
\begin{aligned} 2T &= m_{1}\dot{\mathbf{r}}_{1}^{2}+m_{2}\dot{\mathbf{r}}_{2}^{2} \\\ &= m_{1}\Big(\dot{\mathbf{R}}+\frac{m_{2}}{M}\dot{\mathbf{r}}\Big)^{2} + m_{2}\Big(\dot{\mathbf{R}}-\frac{m_{1}}{M}\dot{\mathbf{r}}\Big)^{2} \\\ &= m_{1}\dot{\mathbf{R}}^{2}+2m_{1}\dot{\mathbf{R}}\cdot\frac{m_{2}}{M}\dot{\mathbf{r}}+m_{1}\Big(\frac{m_{2}}{M}\Big)^{2}\dot{\mathbf{r}}^{2} \\\ &\quad + m_{2}\dot{\mathbf{R}}^{2}-2m_{2}\dot{\mathbf{R}}\cdot\frac{m_{1}}{M}\dot{\mathbf{r}}+m_{2}\Big(\frac{m_{1}}{M}\Big)^{2}\dot{\mathbf{r}}^{2}. \end{aligned}
Agora organizo termos:
  • Soma dos termos com \dot{\mathbf{R}}^{2}: m_{1}\dot{\mathbf{R}}^{2}+m_{2}\dot{\mathbf{R}}^{2}=M\dot{\mathbf{R}}^{2}.
  • Termos mistos em \dot{\mathbf{R}}\cdot\dot{\mathbf{r}}: 2\dot{\mathbf{R}}\cdot\dot{\mathbf{r}}\big(m_{1}\frac{m_{2}}{M}-m_{2}\frac{m_{1}}{M}\big)=0. Ou seja, eles se cancelam exatamente.
  • Termos em \dot{\mathbf{r}}^{2}: m_{1}\big(\frac{m_{2}}{M}\big)^{2}+m_{2}\big(\frac{m_{1}}{M}\big)^{2}=\frac{m_{1}m_{2}}{M}=\mu.
    Portanto obtemos a separação bem conhecida:
T=\frac{1}{2}M\dot{\mathbf{R}}^{2}+\frac{1}{2}\mu\dot{\mathbf{r}}^{2}.
Interpretação: energia cinética separa em movimento do centro de massa (primeiro termo) e movimento relativo (segundo termo).

Passo 4

Como o sistema é isolado não há força externa total, logo o centro de massa se move com velocidade constante. Em particular podemos escolher referencial do centro de massa (quadro do CM) onde \dot{\mathbf{R}}=\mathbf{0}. Isso é permitido porque a energia total difere apenas por um termo cinético \tfrac{1}{2}M\dot{\mathbf{R}}^{2} associado ao movimento do CM; para estudar o movimento relativo geralmente usamos o CM como referencial. Tomando \dot{\mathbf{R}}=\mathbf{0} obtemos
T=\frac{1}{2}\mu\dot{\mathbf{r}}^{2}.
Portanto a energia mecânica total (cinética + potencial) no quadro do CM é
E=T+U(r)=\frac{1}{2}\mu\dot{\mathbf{r}}^{2}+U(r).

Passo 5

Agora uso a informação de força central. Uma propriedade importante de forças centrais é que o movimento relativo fica contido em um plano (torque em relação ao CM é zero). Então posso escolher coordenadas polares no plano do movimento relativo: a posição relativa em coordenadas polares é \mathbf{r}=r\hat{\mathbf{e}}_{r}, onde r é a distância escalar e \theta o ângulo polar. A velocidade relativa tem a derivada bem conhecida:
\dot{\mathbf{r}}=\dot r\,\hat{\mathbf{e}}_{r}+r\dot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_{\theta}.
Ao elevar ao quadrado e usar ortogonalidade de \hat{\mathbf{e}}_{r} e \hat{\mathbf{e}}_{\theta}:
\dot{\mathbf{r}}^{2}=\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}.
Assim a energia cinética do movimento relativo fica
T=\frac{1}{2}\mu\big(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\big).

Passo 6

Agora introduzo o momento angular associado ao movimento relativo e uso sua conservação. O momento angular relativo (vetorial) é
\mathbf{L}=\mu\,\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}.
Para uma força central o torque \mathbf{r}\times\mathbf{F} é zero (já que \mathbf{F} é paralelo a \mathbf{r}), logo \mathbf{L} é constante no tempo. Denoto por l o valor escalar do momento angular (magnitude de \mathbf{L}). Em coordenadas polares, a componente perpendicular ao plano vale
l=\mu r^{2}\dot\theta.
Isto nos dá uma relação útil para \dot\theta:
\dot\theta=\frac{l}{\mu r^{2}}.

Passo 7

Substituo \dot\theta na expressão da energia. Começamos pela energia cinética relativa já escrita em termos de \dot r e \dot\theta:
T=\frac{1}{2}\mu\dot r^{2}+\frac{1}{2}\mu r^{2}\dot\theta^{2}.
Agora substituindo \dot\theta=\dfrac{l}{\mu r^{2}} no segundo termo:
\frac{1}{2}\mu r^{2}\dot\theta^{2} = \frac{1}{2}\mu r^{2}\left(\frac{l}{\mu r^{2}}\right)^{2} = \frac{1}{2}\frac{l^{2}}{\mu r^{2}}.
Portanto a energia mecânica total (no referencial do centro de massa) é
E=\frac{1}{2}\mu\dot r^{2}+\frac{1}{2}\frac{l^{2}}{\mu r^{2}}+U(r).
Comentário físico: o segundo termo atua como uma “energia efetiva de rotação” (às vezes chamada termo centrífugo) que impede a queda direta quando l\neq 0.

Passo 8

Resumo do que foi feito:
  • Separei a energia cinética em movimento do CM e movimento relativo.
  • No quadro do CM, a energia cinética é \tfrac{1}{2}\mu\dot{\mathbf{r}}^{2}.
  • Em coordenadas polares usei \dot{\mathbf{r}}^{2}=\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}.
  • Usei conservação do momento angular l=\mu r^{2}\dot\theta para eliminar \dot\theta.
  • Isso levou exatamente à expressão pedida, que é a energia total em termos de r, \dot r, l e U(r).

Resposta

E=\frac{1}{2}\mu\dot{r}^{2}+\frac{1}{2}\frac{l^{2}}{\mu r^{2}}+U(r)

Exercícios relacionados