Considere um sistema isolado composto de dois corpos que interajam entre si por meio de força central.
Demonstre por meio de cálculo explícito que a energia mecânica total pode ser expressa como
Demonstre por meio de cálculo explícito que a energia mecânica total pode ser expressa como
Passo 1
O enunciado dá um sistema isolado com dois corpos que interagem por uma força central e pede para demonstrar a identidade
Lista clara do que temos e do que é pedido:
- Temos duas massas
e com posições vetoriais e . - A interação é central: a energia potencial depende somente da distância entre os corpos, isto é
com . - O sistema é isolado (sem forças externas).
- Preciso demonstrar, por cálculo explícito, que a energia mecânica total pode ser escrita na forma dada, em que
é a massa reduzida, é o momento angular associado ao movimento relativo e é a derivada temporal da separação .
Nada mais será assumido sem derivação — a resolução começa agora.
Passo 2
Defino coordenadas convenientes e as massas envolvidas:
- Massa total
. - Centro de massa
definido por
- Vetor relativo
definido por
e sua norma
.
- Velocidades correspondentes:
é a velocidade do centro de massa (vou chamá‑la de ) e é a velocidade relativa. - Massa reduzida
definida por
Explicação curta:
é a massa que aparece quando se descreve o movimento relativo; ela combina
e
de forma que a energia cinética do sistema separe em movimento do centro de massa mais movimento relativo.
Passo 3
Escrevo a energia cinética total
dos dois corpos:
Agora expresso
e
em termos de
e
. Uma decomposição padrão é
Derivando temporalmente:
Substituo em
e faço as contas com calma (mostrando que os termos mistos se cancelam):
Agora organizo termos:
- Soma dos termos com
: . - Termos mistos em
: . Ou seja, eles se cancelam exatamente. - Termos em
: .
Portanto obtemos a separação bem conhecida:
Interpretação: energia cinética separa em movimento do centro de massa (primeiro termo) e movimento relativo (segundo termo).
Passo 4
Como o sistema é isolado não há força externa total, logo o centro de massa se move com velocidade constante. Em particular podemos escolher referencial do centro de massa (quadro do CM) onde
. Isso é permitido porque a energia total difere apenas por um termo cinético
associado ao movimento do CM; para estudar o movimento relativo geralmente usamos o CM como referencial. Tomando
obtemos
Portanto a energia mecânica total (cinética + potencial) no quadro do CM é
Passo 5
Agora uso a informação de força central. Uma propriedade importante de forças centrais é que o movimento relativo fica contido em um plano (torque em relação ao CM é zero). Então posso escolher coordenadas polares no plano do movimento relativo: a posição relativa em coordenadas polares é
, onde
é a distância escalar e
o ângulo polar. A velocidade relativa tem a derivada bem conhecida:
Ao elevar ao quadrado e usar ortogonalidade de
e
:
Assim a energia cinética do movimento relativo fica
Passo 6
Agora introduzo o momento angular associado ao movimento relativo e uso sua conservação. O momento angular relativo (vetorial) é
Para uma força central o torque
é zero (já que
é paralelo a
), logo
é constante no tempo. Denoto por
o valor escalar do momento angular (magnitude de
). Em coordenadas polares, a componente perpendicular ao plano vale
Isto nos dá uma relação útil para
:
Passo 7
Substituo
na expressão da energia. Começamos pela energia cinética relativa já escrita em termos de
e
:
Agora substituindo
no segundo termo:
Portanto a energia mecânica total (no referencial do centro de massa) é
Comentário físico: o segundo termo atua como uma “energia efetiva de rotação” (às vezes chamada termo centrífugo) que impede a queda direta quando
.
Passo 8
Resumo do que foi feito:
- Separei a energia cinética em movimento do CM e movimento relativo.
- No quadro do CM, a energia cinética é
. - Em coordenadas polares usei
. - Usei conservação do momento angular
para eliminar . - Isso levou exatamente à expressão pedida, que é a energia total em termos de
, , e .