Um elétron se move em uma circunferência de raio r= 5,29 \times 10^{-11} \mathrm{~m} com uma velocidade de 2,19 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Trate a trajetória circular como uma espira percorrida por uma corrente constante igual à razão entre a carga do elétron e o período do movimento. Se a trajetória do elétron está em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo B=7,10 \mathrm{mT}, qual é o maior valor possível do módulo do torque aplicado pelo campo à espira?

Passo 1

O enunciado pede o maior valor possível do módulo do torque magnético exercido por um campo uniforme sobre a espira formada pela trajetória circular de um elétron. Informações dadas:
r = 5,29\times10^{-11}\,\mathrm{m},
v = 2,19\times10^{6}\,\mathrm{m/s},
B = 7,10\,\mathrm{mT} = 7,10\times10^{-3}\,\mathrm{T}.
O enunciado também instrui a tratar a trajetória como uma espira com corrente constante igual à razão entre a carga do elétron e o período do movimento. O que devemos encontrar é \emph{o maior} módulo do torque aplicado pelo campo magnético a essa espira.

Passo 2

Calcular o período do movimento circular T. Explicação didática: o período T é o tempo que o elétron leva para dar uma volta completa na circunferência. O comprimento da circunferência é 2\pi r e a velocidade tangencial é v, então
T=\frac{2\pi r}{v}.
Aqui cada símbolo significa:
  • T: período (s),
  • r: raio da circunferência (m),
  • v: velocidade tangencial (m/s).
Agora substituo os valores:
T=\frac{2\pi\cdot 5,29\times10^{-11}}{2,19\times10^{6}}.
Faço as contas passo a passo: primeiro o numerador 2\pi r\approx 2\pi\cdot5,29\times10^{-11}\approx 3,3238\times10^{-10}\,\mathrm{m}. Dividindo por 2,19\times10^{6} obtenho
T\approx 1,52\times10^{-16}\,\mathrm{s}.

Passo 3

Calcular a corrente média I associada ao elétron em movimento. Explicação didática: para uma carga que passa repetidamente por um ponto com período T, a corrente média em módulo é a carga por período:
I=\frac{q}{T}.
Aqui q é o módulo da carga do elétron. Uso o valor absoluto da carga porque corrente é magnitude de fluxo de carga; a carga do elétron em módulo é e=1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C}.
Substituindo:
I=\frac{1,602\times10^{-19}}{1,52\times10^{-16}}.
Calculando:
I\approx 1,06\times10^{-3}\,\mathrm{A}.
(Detalhe: o sinal da carga só influencia a direção da corrente, não o módulo.)

Passo 4

Calcular a área da espira A. Explicação didática: a espira é a região circular delimitada pela trajetória, cujo valor da área é
A=\pi r^{2}.
Substituo r:
A=\pi\cdot(5,29\times10^{-11})^{2}.
Calculo:
(5,29\times10^{-11})^{2}=2,7984\times10^{-21},
A\approx \pi\cdot 2,7984\times10^{-21}\approx 8,79\times10^{-21}\,\mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Calcular o momento magnético da espira \mu e lembrar a relação torque–momento magnético. Explicação didática: o momento magnético de uma espira com corrente é
\mu = I A,
onde
  • \mu tem unidade \mathrm{A\cdot m^{2}} (também igual a J/T),
  • I é a corrente (A),
  • A é a área (m ^2).
Substituindo os valores obtidos:
\mu \approx (1,06\times10^{-3})\cdot(8,79\times10^{-21}) \approx 9,28\times10^{-24}\,\mathrm{A\cdot m^{2}}.
A relação entre torque \tau, momento magnético \mu e campo magnético \mathbf{B} é vetorialmente
\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B},
e o módulo é
\tau=\mu B\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \boldsymbol{\mu} e \mathbf{B}. O maior valor possível do módulo do torque ocorre quando \sin\theta=1, ou seja, quando \theta=90^\circ. Portanto o máximo é
\tau_{\text{max}}=\mu B.

Passo 6

Calcular numericamente \tau_{\text{max}}. Substituo \mu e B (lembre que B=7,10\times10^{-3}\,\mathrm{T}):
\tau_{\text{max}}=(9,28\times10^{-24})\cdot(7,10\times10^{-3}).
Faço a multiplicação:
\tau_{\text{max}}\approx 6,59\times10^{-26}\,\mathrm{N\cdot m}.

Passo 7

Comentário rápido e motivador: o resultado está na ordem de 10^{-26}\,\mathrm{N\cdot m}, muito pequeno — faz sentido porque estamos tratando de um único elétron num raio atômico. Se precisar, dá pra conferir cada etapa: período → corrente → momento magnético → torque máximo. Você conseguiu chegar até aqui, mandou bem — respira e repete os passos com calma antes da prova!

Resposta

6,59\times10^{-26}\,\mathrm{N\cdot m}

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