Uma bobina com resistência de 0,2 \Omega e auto-indutância de 20 mH é perfeitamente acoplada ( k=1 ) a uma segunda bobina. A resistência e autoindutância da bobina 2 são, respectivamente, 0,8 \Omega e 80 mH . A bobina 2 está conectada a uma carga indutiva com resistência de 30 \Omega em série com uma indutância de 20 mH . Se a tensão eficaz sobre a bobina 1 for 480 V e sua frequência de 2000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, qual a potência fornecida pela fonte? Determine também a eficiência \left(\eta=100 \times\left(P_{\text {out }} / P_{\text {in }}\right)\right).

Passo 1

O enunciado descreve duas bobinas perfeitamente acopladas ( k=1) em que a bobina 1 tem resistência \,R_1=0{,}2\\ \Omega e autoindutância \,L_1=20\\ \mathrm{mH}, e a bobina 2 tem R_2=0{,}8\\ \Omega e L_2=80\\ \mathrm{mH}. A bobina 2 alimenta uma carga série de resistência R_C=30\\ \Omega e indutância L_C=20\\ \mathrm{mH}. A tensão eficaz na bobina 1 é \,V_1=480\\ \mathrm{V} à frequência \omega=2000\\ \mathrm{rad/s}. Precisamos achar a potência total fornecida pela fonte ( P_{\text{in}}) e a eficiência \eta=100\,\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a relação de espiras (turns ratio) a partir das autoindutâncias, pois para transformador ideal
\frac{N_1}{N_2} \;=\;\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}
Logo,
r\;=\;\frac{N_1}{N_2}\;=\;\sqrt{\frac{20\times10^{-3}}{80\times10^{-3}}} \;=\;0{,}5.

Passo 3

Montamos a impedância total do circuito secundário (bobina 2 em série com a carga):
Z_{\mathrm{sec}} =R_2 + j\omega L_2 \;+\; R_C + j\omega L_C =0{,}8 + j(2000\cdot0{,}080) \;+\; 30 + j(2000\cdot0{,}020).
Calculando,
Z_{\mathrm{sec}} =30{,}8 \;+\; j(160 + 40) =30{,}8 + j200\\ \Omega.

Passo 4

Refletimos essa impedância para o primário multiplicando por r^2=(0{,}5)^2=0{,}25:
Z_{\mathrm{ref}} =0{,}25\;\bigl(30{,}8 + j200\bigr) =7{,}7 + j50\\ \Omega.

Passo 5

A impedância vista pelo gerador inclui R_1, j\omega L_1 e Z_{\mathrm{ref}} em série:
Z_{\mathrm{in}} =R_1 + j\omega L_1 + Z_{\mathrm{ref}} =0{,}2 + j(2000\cdot0{,}020) + (7{,}7 + j50) =7{,}9 + j90\\ \Omega.

Passo 6

A corrente rms fornecida é
I_1=\frac{V_1}{|Z_{\mathrm{in}}|} =\frac{480}{\sqrt{7{,}9^2 + 90^2}} \approx5{,}315\\ \mathrm{A}.
A potência real de entrada é
P_{\mathrm{in}} =I_1^2 \times R_{\mathrm{eq}} \quad\text{com }R_{\mathrm{eq}}=7{,}9\\ \Omega
P_{\mathrm{in}} =(5{,}315)^2 \times 7{,}9 \approx223{,}0\\ \mathrm{W}.

Passo 7

A corrente no secundário vale, por conservação de ampere-espiras,
I_2 = I_1 \,\frac{N_1}{N_2} =5{,}315\times0{,}5 \approx2{,}6575\\ \mathrm{A}.
A potência efetivamente dissipada na carga R_C=30\\ \Omega é
P_{\mathrm{out}} =I_2^2\,R_C =(2{,}6575)^2\times30 \approx211{,}9\\ \mathrm{W}.

Passo 8

A eficiência da transferência é
\eta =100\times\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}} =100\times\frac{211{,}9}{223{,}0} \approx94{,}99\%\simeq95\%.

Resposta

Potência fornecida pela fonte: P_{\mathrm{in}}\approx223{,}0\\ \mathrm{W}.
Eficiência: \eta\approx95\%.

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