Uma bobina retangular de comprimento a e altura b, com N espiras, gira com velocidade angular omega na presença de um campo magnético uniforme e constante B. A bobina está ligada à cilindros metálicos que giram solidariamente a ela e nos quais estão apoiadas escovas metálicas que fazem contato com um circuito externo. Sendo theta o angulo entre a normal à área da espira e o campo magnético, considere que em t=0, theta=0.
sabendo que o trabalho realizado pelo torque em uma rotação finita é dado por W(theta)=integraltheta0^theta tau d theta, mostre que a potência mecânica fornecida ao sistema é igual à potencia gerada no circuito:
d Wd t=E ind i ind

Passo 1

Tranquilo, o que temos é uma bobina retangular (dimensões a×b), com N espiras, girando à velocidade angular ω num campo magnético uniforme B. O enunciado pede para mostrar que a potência mecânica fornecida ao sistema,
dWdt,
é igual à potência elétrica gerada no circuito,
Erm ind,irm ind
Matéria: Eletromagnetismo – Lei de Faraday (fem induzida) e torque sobre uma espira num campo magnético. Vamos usar:
  1. Lei de Faraday:
  2. Torque em uma espira:
  3. Definição de potência: e .

Passo 2

Calcular a fem induzida via lei de Faraday. Primeiro o fluxo magnético:
Phi = N,B,Acostheta,
onde dPhidt = N,B,A,d(costheta)dt = -N,B,A,sintheta;dthetadt = -N,B,A,omega,sintheta é a área da espira e Erm ind ;=; -dPhidt ;=; N,B,A,omega,sintheta .
Então
Pela lei de Faraday:

Passo 3

Agora o torque que o campo faz sobre a espira com corrente tau = N,i,A,B,sintheta . A teoria diz que
Esse torque é resistivo ao giro, ou seja, o agente externo precisa fornecer trabalho para manter a rotação.

Passo 4

Potência mecânica fornecida é
Prm mec = dWdt = tau,dthetadt = tau,omega = l(N,i,A,B,sinthetar),omega
Potência elétrica entregue ao circuito é
Prm el = Erm ind,i = l(N,B,A,omega,sinthetar),i
Repare que ambas são iguais:
Prm mec = N,i,A,B,sintheta,omega = i;l(N,B,A,omega,sinthetar) = Prm el

Resposta

dWdt ;=;Erm ind,irm ind

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