Um fio semicircular de raio R está uniformemente carregado com uma carga total Q. Encontre o vector campo eléctrico no centro de curvatura. Considere que o fio se encontra no plano x O y, que o centro de curvatura coincide com a origem e que o ponto médio do fio tem coordenadas x=0 e y=R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação é a seguinte: temos um fio semicircular de raio $ R $ carregado de maneira uniforme com uma carga total $ Q $. Precisamos encontrar o vetor campo elétrico no centro de curvatura desse fio, que está na origem do sistema de coordenadas $ xOy $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb para campos elétricos criados por distribuições de carga contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o fio está distribuído de maneira uniforme. Isso significa que a carga por unidade de comprimento, que chamaremos de $ \lambda $, é constante ao longo do fio. Para encontrar $ \lambda $, usamos a relação:
lambda
Aqui, $ \pi R $ é o comprimento do semicirculo.

Passo 3

Agora, vamos considerar um pequeno elemento de fio $ d\ell $ no semicirculo. A carga desse elemento é $ dq = \lambda d\ell $. Esse elemento gera um campo elétrico $ d\vec{E} $ no ponto central (origem).

Passo 4

A expressão para o campo elétrico devido a uma carga pontual é dada por:
dE = 14pi varepsilon0 dqr^2 r
No nosso caso, $ r = R $ (distância do elemento ao centro) e $ \hat{r} $ é a direção do vetor que vai do elemento ao ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 5

Como o fio está no plano $ xOy $ e é simétrico em relação ao eixo $ y $, podemos notar que os componentes $ x $ dos campos elétricos de elementos opostos se cancelam, deixando apenas a componente $ y $.

Passo 6

Portanto, a contribuição do campo elétrico em $ y $ de um elemento $ d\ell $ é:
y
Onde $ \theta $ é o ângulo que o elemento faz com o eixo $ y $.

Passo 7

Integrando sobre todo o semicircunferência, temos:
Ey = integral dEy = 14pi varepsilon0 lambdaR^2 integral0^pi cos(theta) R dtheta
Simplificando:
Ey = lambda4pi varepsilon0 R integral0^pi cos(theta) dtheta

Passo 8

Resolvendo a integral:
integral0^pi cos(theta) dtheta = sin(theta) |0^pi = sin(pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0
Ops! Parece que houve um erro na abordagem. Vamos corrigir isso.

Passo 9

Na verdade, o campo elétrico devido a cada elemento tem uma componente $ y $ que contribui para a soma total, mas a integral correta para a componente $ y $ é:
y
Isso porque $ \cos(\theta) $ representa a componente $ x $, que se cancela, e $ \sin(\theta) $ representa a componente $ y $.

Passo 10

Agora, resolvendo a integral correta:
integral0^pi sin(theta) dtheta = -cos(theta) |0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2

Passo 11

Substituindo de volta na expressão do campo elétrico:
Ey = 14pi varepsilon0 lambdaR times 2 = lambda2pi varepsilon0 R

Passo 12

Lembrando que $ \lambda = \frac{Q}{\pi R} $, substituímos na expressão:
lambda = Qpi R

Resposta

Portanto, o vetor campo elétrico no centro de curvatura é:
E = (0, Q2pi^2 varepsilon0 R^2) , N/C

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