Um fio semicircular de raio
está uniformemente carregado com uma carga total
. Encontre o vector campo eléctrico no centro de curvatura. Considere que o fio se encontra no plano
, que o centro de curvatura coincide com a origem e que o ponto médio do fio tem coordenadas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação é a seguinte: temos um fio semicircular de raio $ R $ carregado de maneira uniforme com uma carga total $ Q $. Precisamos encontrar o vetor campo elétrico no centro de curvatura desse fio, que está na origem do sistema de coordenadas $ xOy $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb para campos elétricos criados por distribuições de carga contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o fio está distribuído de maneira uniforme. Isso significa que a carga por unidade de comprimento, que chamaremos de $ \lambda $, é constante ao longo do fio. Para encontrar $ \lambda $, usamos a relação:
Aqui, $ \pi R $ é o comprimento do semicirculo.
Passo 3
Agora, vamos considerar um pequeno elemento de fio $ d\ell $ no semicirculo. A carga desse elemento é $ dq = \lambda d\ell $. Esse elemento gera um campo elétrico $ d\vec{E} $ no ponto central (origem).
Passo 4
A expressão para o campo elétrico devido a uma carga pontual é dada por:
No nosso caso, $ r = R $ (distância do elemento ao centro) e $ \hat{r} $ é a direção do vetor que vai do elemento ao ponto onde estamos calculando o campo.
Passo 5
Como o fio está no plano $ xOy $ e é simétrico em relação ao eixo $ y $, podemos notar que os componentes $ x $ dos campos elétricos de elementos opostos se cancelam, deixando apenas a componente $ y $.
Passo 6
Portanto, a contribuição do campo elétrico em $ y $ de um elemento $ d\ell $ é:
Onde $ \theta $ é o ângulo que o elemento faz com o eixo $ y $.
Passo 7
Integrando sobre todo o semicircunferência, temos:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Ops! Parece que houve um erro na abordagem. Vamos corrigir isso.
Passo 9
Na verdade, o campo elétrico devido a cada elemento tem uma componente $ y $ que contribui para a soma total, mas a integral correta para a componente $ y $ é:
Isso porque $ \cos(\theta) $ representa a componente $ x $, que se cancela, e $ \sin(\theta) $ representa a componente $ y $.
Passo 10
Agora, resolvendo a integral correta:
Passo 11
Substituindo de volta na expressão do campo elétrico:
Passo 12
Lembrando que $ \lambda = \frac{Q}{\pi R} $, substituímos na expressão:
Resposta
Portanto, o vetor campo elétrico no centro de curvatura é: