Um disco de raio R tem uma densidade superficial de carga dada por sigma=3 r. Calcule a carga total do disco.

Passo 1

Beleza, a questão diz assim: “Um disco de raio tem densidade superficial de carga . Calcule a carga total do disco.”
Conteúdo: integração em coordenadas polares para calcular carga a partir de densidade de carga superficial.
O que vamos precisar:
  • Saber que a carga total é a integral da densidade superficial sobre a área do disco.
  • Conhecer o elemento de área em polares, .
  • Fazer uma integração dupla (sobre e ).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a fórmula geral:
Q ;=; integral dupladisco sigma(r),dA
Aqui dA = r,dr,dtheta e, em coordenadas polares, o elemento de área é
Q = integraltheta=0^2pi !integralr=0^R l(3rr),(r,dr,dtheta)
Então a integral vira
Note que multiplicamos (densidade) por (área infinitesimal).

Passo 3

Agora a gente simplifica o integrando antes de integrar:
3r times r = 3r^2
Fica:
Q = integral0^2pi!integral0^R 3r^2 ,dr,dtheta
Como Q = l(integral0^2pidthetar);l(integral0^R3r^2,drr) e são variáveis independentes, separamos as integrais:

Passo 4

Calcule cada parte:
  1. Q = (2pi)times (R^3) = 2pi R^3

  2. Multiplicando:

Resposta

boxedQ = 2pi R^3

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