Um disco de raio
tem uma densidade superficial de carga dada por
. Calcule a carga total do disco.
Passo 1
Beleza, a questão diz assim: “Um disco de raio
tem densidade superficial de carga
. Calcule a carga total do disco.”
Conteúdo: integração em coordenadas polares para calcular carga a partir de densidade de carga superficial.
O que vamos precisar:
Conteúdo: integração em coordenadas polares para calcular carga a partir de densidade de carga superficial.
O que vamos precisar:
- Saber que a carga total
é a integral da densidade superficial sobre a área do disco. - Conhecer o elemento de área em polares,
. - Fazer uma integração dupla (sobre
e ).
Passo 2
Primeiro, escrevemos a fórmula geral:
Aqui
e, em coordenadas polares, o elemento de área é
Então a integral vira
Note que multiplicamos
(densidade) por
(área infinitesimal).
Passo 3
Agora a gente simplifica o integrando antes de integrar:
Fica:
Como
e
são variáveis independentes, separamos as integrais:
Passo 4
Calcule cada parte:
-
-
Multiplicando: