Em um bocal adiabático, há um escoamento de ar, em regime permanente, entrando a 150 { }^{\circ} \mathrm{C}, a 540 kPa e com velocidade de 22 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e saindo a 102^{\circ} \mathrm{C} e a 355 kPa . O diâmetro da entrada vale 200 mm . Despreze o efeito da energia potencial e o ar é um gás ideal.
Determine:
a) a densidade do ar na entrada, \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3};
b) a vazão mássica de ar, em kg/s;
c) a densidade do ar na saída, \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3};
d) a velocidade de saída do ar, em \mathrm{m} / \mathrm{s};
e) o diâmetro na saída, em mm.

Passo 1

O enunciado fornece um escoamento de ar através de um bocal adiabático em regime permanente. Ele pede cinco quantidades. Listei aqui tudo que o enunciado dá e o que é pedido:
Dados (retirei diretamente do enunciado):
  • Temperatura de entrada: \,T_1 = 150^\circ\mathrm{C}\,.
  • Pressão de entrada: \,p_1 = 540\\ \mathrm{kPa}\,.
  • Velocidade de entrada: \,v_1 = 22\\ \mathrm{m/s}\,.
  • Diâmetro de entrada: \,d_1 = 200\\ \mathrm{mm}\,.
  • Temperatura de saída: \,T_2 = 102^\circ\mathrm{C}\,.
  • Pressão de saída: \,p_2 = 355\\ \mathrm{kPa}\,.
O que é pedido:
a) densidade do ar na entrada (kg/m³);
b) vazão mássica de ar (kg/s);
c) densidade do ar na saída (kg/m³);
d) velocidade de saída do ar (m/s);
e) diâmetro na saída (mm).
Observação: o enunciado diz para desprezar energia potencial, o bocal é adiabático e o ar é gás ideal. Não há outras informações numéricas (por ex. variação de calor ou trabalho), então usarei as aproximações padrão para ar seco: constante dos gases perfeitos \,R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, e capacidade calorífica a pressão constante aproximadamente \,c_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Estas escolhas serão usadas explicitamente nos passos seguintes.

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar unidades para o SI e anotar valores numéricos em forma útil.
  • Converter temperaturas Celsius para Kelvin:
T_1 = 150^\circ\mathrm{C} = 150+273{,}15 = 423{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 102^\circ\mathrm{C} = 102+273{,}15 = 375{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter pressões de kPa para Pa:
p_1 = 540\\ \mathrm{kPa} = 540000\\ \mathrm{Pa},
p_2 = 355\\ \mathrm{kPa} = 355000\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter diâmetro de entrada para metros e calcular área:
d_1 = 200\\ \mathrm{mm} = 0{,}200\\ \mathrm{m},
A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi (0{,}200)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}01 = 0{,}01\pi\\ \mathrm{m}^2 \approx 0{,}0314159\\ \mathrm{m}^2.
  • Constantes que usaremos (valores típicos para ar seco):
R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad c_p = 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 3

(a) Calcular a densidade do ar na entrada usando a lei dos gases ideais. Explicação do conceito: a lei dos gases ideais relaciona pressão, densidade e temperatura por
p = \rho R T,
onde \,p é a pressão (Pa), \rho é a densidade (kg/m³), R é a constante específica do gás (J/(kg·K)) e T é a temperatura absoluta (K). Isolando \rho:
\rho = \frac{p}{R T}.
Aplicando na entrada:
\rho_1 = \frac{p_1}{R T_1} = \frac{540000}{287\cdot 423{,}15}.
Agora faço as contas (mostrando passos aritméticos):
287\cdot 423{,}15 \approx 121443{,}05,
\rho_1 \approx \frac{540000}{121443{,}05} \approx 4{,}447\\ \mathrm{kg/m}^3.

Passo 4

(b) Calcular a vazão mássica de ar. Conceito: vazão mássica em regime estacionário e fluxo coaxial é
\dot m = \rho A v,
onde \dot m é a massa por unidade de tempo (kg/s), \rho é a densidade local (kg/m³), A é a área da seção (m²) e v é a velocidade (m/s). Usamos os valores na entrada:
\dot m = \rho_1 A_1 v_1.
Substituindo:
\dot m \approx 4{,}447\cdot 0{,}0314159\cdot 22.
Faço em passos:
4{,}447\cdot 0{,}0314159 \approx 0{,}13966,
\dot m \approx 0{,}13966\cdot 22 \approx 3{,}0725\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando de forma razoável: \dot m \approx 3{,}07\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

(c) Densidade do ar na saída, novamente usando a lei dos gases ideais. Aplicando:
\rho_2 = \frac{p_2}{R T_2} = \frac{355000}{287\cdot 375{,}15}.
Calculando:
287\cdot 375{,}15 \approx 107668{,}05,
\rho_2 \approx \frac{355000}{107668{,}05} \approx 3{,}297\\ \mathrm{kg/m}^3.

Passo 6

(d) Velocidade de saída do ar. Aqui usamos a equação de energia para escoamento em regime permanente, adiabático, sem troca de trabalho de eixo e desprezando energia potencial. Explicação do conceito: a equação de energia por unidade de massa (forma simplificada) é
h_1 + \frac{v_1^2}{2} = h_2 + \frac{v_2^2}{2},
onde h é a entalpia específica (J/kg) e v é a velocidade (m/s). Para gás ideal com h = c_p T (e c_p aproximadamente constante), temos
c_p T_1 + \frac{v_1^2}{2} = c_p T_2 + \frac{v_2^2}{2}.
Isolando v_2:
\frac{v_2^2}{2} = \frac{v_1^2}{2} + c_p (T_1 - T_2),
v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2 c_p (T_1 - T_2)}.
Substituindo números (mostrando contas):
T_1-T_2 = 423{,}15-375{,}15 = 48{,}00\\ \mathrm{K},
2 c_p (T_1-T_2) = 2\cdot 1005\cdot 48{,}00 = 96\,480\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
(Observação: J/kg é m²/s², por isso unidades batem com v^2.)
v_1^2 = 22^2 = 484,
v_2 = \sqrt{484 + 96\,480} = \sqrt{96\,964} \approx 311{,}43\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

(e) Diâmetro de saída a partir da conservação de massa. Conceito: em regime permanente, a vazão mássica é a mesma em qualquer seção:
\dot m = \rho_2 A_2 v_2.
Isolando a área de saída:
A_2 = \frac{\dot m}{\rho_2 v_2}.
Substituindo os valores obtidos:
A_2 \approx \frac{3{,}0725}{3{,}297\cdot 311{,}43}.
Faço as contas:
3{,}297\cdot 311{,}43 \approx 1\,026{,}785,
A_2 \approx \frac{3{,}0725}{1\,026{,}785} \approx 0{,}002992\\ \mathrm{m}^2.
Agora, converter área em diâmetro usando A = \pi d^2/4, ou
d_2 = \sqrt{\frac{4A_2}{\pi}}.
Substituindo:
d_2 = \sqrt{\frac{4\cdot 0{,}002992}{\pi}} = \sqrt{0{,}003809} \approx 0{,}0617\\ \mathrm{m}.
Converter para mm:
d_2 \approx 0{,}0617\\ \mathrm{m} = 61{,}7\\ \mathrm{mm}.

Resposta

(a) \rho_1 \approx 4{,}447\\ \mathrm{kg/m}^3
(b) \dot m \approx 3{,}07\\ \mathrm{kg/s}
(c) \rho_2 \approx 3{,}297\\ \mathrm{kg/m}^3
(d) v_2 \approx 311{,}43\\ \mathrm{m/s}
(e) d_2 \approx 61{,}7\\ \mathrm{mm}

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