Nitrogênio escoa em regime permanente em uma turbina adiabática. Na entrada, a vazão volumétrica vale 50 \mathrm{~L} / s e o nitrogênio está a 680 K e a 9,0 bar e na saída, o nitrogênio está a 370 K e a 1,0 bar. Os efeitos de energia cinética e potencial podem ser desprezados e o nitrogênio é um gás ideal.
Determine:
a) a vazão mássica, em kg/s;
b) a vazão volumétrica na saída, em L/s;
c) a potência da turbina, em kW.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas:
Dados:
  • vazão volumétrica na entrada: \dot{V}_{\text{in}} = 50\\ \mathrm{L/s}.
  • temperatura na entrada: T_{\text{in}} = 680\\ \mathrm{K}.
  • pressão na entrada: p_{\text{in}} = 9{,}0\\ \mathrm{bar}.
  • temperatura na saída: T_{\text{out}} = 370\\ \mathrm{K}.
  • pressão na saída: p_{\text{out}} = 1{,}0\\ \mathrm{bar}.
  • o nitrogênio é tratado como gás ideal.
  • escoamento em regime permanente, adiabático, e os efeitos de energia cinética e potencial são desprezíveis.
Pedidos:
a) a vazão mássica \dot{m} em \mathrm{kg/s};
b) a vazão volumétrica na saída \dot{V}_{\text{out}} em \mathrm{L/s};
c) a potência da turbina \dot{W} em \mathrm{kW}.
Observações de unidades (vou usar consistentemente SI):
  • 1\\ \mathrm{L} = 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • 1\\ \mathrm{bar} = 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Cálculo da vazão mássica \dot{m}.
Teoria necessária (explicadinha): para um gás ideal a densidade \rho é dada pela equação dos gases ideais na forma
\rho = \frac{p}{R\,T},
onde p é a pressão (Pa), T é a temperatura (K) e R é a constante específica do gás (J/kg·K). Para o nitrogênio molecular ( \mathrm{N_2}) a massa molar é aproximadamente 28{,}0134\\ \mathrm{g/mol}, então a constante específica é
R = \frac{R_u}{M} \approx \frac{8{,}314462\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}}{0{,}0280134\\ \mathrm{kg/mol}} \approx 296{,}8\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Também, em regime permanente a vazão mássica não varia entre entrada e saída, e relaciona-se com a vazão volumétrica por
\dot{m} = \rho\,\dot{V}.
Agora aplicando aos dados da entrada:
  1. Converter unidades:
\dot{V}_{\text{in}} = 50\\ \mathrm{L/s} = 50\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}050\\ \mathrm{m^3/s},
p_{\text{in}} = 9{,}0\\ \mathrm{bar} = 9{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  1. Calcular a densidade na entrada usando a equação dos gases ideais:
\rho_{\text{in}} = \frac{p_{\text{in}}}{R\,T_{\text{in}}} = \frac{9{,}0\times 10^{5}}{296{,}8 \times 680}.
Faço as contas passo a passo:
296{,}8\times 680 = 201\,824,
\rho_{\text{in}} = \frac{900\,000}{201\,824} \approx 4{,}458\\ \mathrm{kg/m^3}.
  1. Agora a vazão mássica:
\dot{m} = \rho_{\text{in}}\,\dot{V}_{\text{in}} = 4{,}458 \times 0{,}050 \approx 0{,}2229\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação amigável: com a pressão alta e temperatura elevada a densidade é alguns kg por \mathrm{m^3}; com 0{,}05\\ \mathrm{m^3/s} sai cerca de 0{,}223\\ \mathrm{kg/s}. Tá ficando bom!

Passo 3

Cálculo da vazão volumétrica na saída \dot{V}_{\text{out}}.
Teoria usada: em escoamento permanente a vazão mássica é constante, logo
\dot{m} = \rho_{\text{out}}\,\dot{V}_{\text{out}} \quad\Rightarrow\quad \dot{V}_{\text{out}} = \frac{\dot{m}}{\rho_{\text{out}}}.
E novamente uso a equação dos gases ideais para \rho_{\text{out}}:
\rho_{\text{out}} = \frac{p_{\text{out}}}{R\,T_{\text{out}}}.
Aplicando os valores da saída:
  1. Converter p_{\text{out}}:
p_{\text{out}} = 1{,}0\\ \mathrm{bar} = 1{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  1. Calcular \rho_{\text{out}}:
\rho_{\text{out}} = \frac{1{,}0\times 10^{5}}{296{,}8 \times 370}.
Passo a passo:
296{,}8\times 370 = 109\,816,
\rho_{\text{out}} = \frac{100\,000}{109\,816} \approx 0{,}9106\\ \mathrm{kg/m^3}.
  1. Calcular \dot{V}_{\text{out}}:
\dot{V}_{\text{out}} = \frac{\dot{m}}{\rho_{\text{out}}} = \frac{0{,}2229}{0{,}9106} \approx 0{,}2449\\ \mathrm{m^3/s}.
  1. Converter para \mathrm{L/s}:
\dot{V}_{\text{out}} = 0{,}2449\\ \mathrm{m^3/s} = 244{,}9\\ \mathrm{L/s}.
Comentário: a grande expansão volumétrica (de 50 L/s para ~245 L/s) acontece porque a pressão caiu muito (9→1 bar) apesar de a temperatura também cair.

Passo 4

Cálculo da potência da turbina \dot{W}.
Teoria necessária (muito importante explicar): para um escoamento em regime permanente, adiabático e desprezando variações de energia cinética e potencial, o balanço de energia entre entrada e saída para uma turbina dá (por unidade de tempo)
\dot{W} = \dot{m}\,(h_{\text{in}} - h_{\text{out}}),
onde h é a entalpia específica do fluido. Para um gás ideal com calor específico aproximadamente constante, a entalpia é h = c_p\,T, em que c_p é o calor específico a pressão constante (J/kg·K) e T a temperatura (K). Portanto
\dot{W} = \dot{m}\,c_p\,(T_{\text{in}} - T_{\text{out}}).
Qual c_p usar para \mathrm{N_2}? Explicação prática: para um gás diatômico (como \mathrm{N_2}) próximo das temperaturas dadas, uma boa aproximação é
c_v \approx \frac{5}{2}R, \quad c_p = c_v + R = \frac{7}{2}R.
Com R \approx 296{,}8\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} temos
c_p \approx \frac{7}{2}\times 296{,}8 \approx 1\,038{,}8\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \approx 1{,}039\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(Outra forma prática é lembrar c_p de N_2 1{,}04\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.)
Agora calcular:
  1. Diferença de temperatura:
\Delta T = T_{\text{in}} - T_{\text{out}} = 680 - 370 = 310\\ \mathrm{K}.
  1. Produto c_p\,\Delta T:
c_p\,\Delta T = 1\,038{,}8 \times 310 = 322\,028\\ \mathrm{J/kg}.
  1. Potência:
\dot{W} = \dot{m}\,c_p\,\Delta T = 0{,}2229 \times 322\,028 \approx 71\,785\\ \mathrm{W}.
  1. Converter para \mathrm{kW}:
\dot{W} \approx 71{,}8\\ \mathrm{kW}.
Sinal e interpretação: esse valor é a potência mecânica extraída pela turbina (potência entregue no eixo). É positivo porque h_{\text{in}}>h_{\text{out}}.

Passo 5

Resumo numérico dos resultados com arredondamento razoável (3 algarismos significativos quando aplicável) para uso na prova:
  • vazão mássica \dot{m} \approx 0{,}223\\ \mathrm{kg/s};
  • vazão volumétrica de saída \dot{V}_{\text{out}} \approx 244{,}9\\ \mathrm{L/s};
  • potência da turbina \dot{W} \approx 71{,}8\\ \mathrm{kW}.

Resposta

\dot{m} \approx 0{,}223\\ \mathrm{kg/s}
\dot{V}_{\text{out}} \approx 244{,}9\\ \mathrm{L/s}
\dot{W} \approx 71{,}8\\ \mathrm{kW}

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