Um bocal é conectado a uma mangueira de incêndio lisa, revestida de borracha, com 100 m de comprimento e
de diâmetro. Água de um hidrante é fornecida a 350 kPa (manométrica) para uma bomba auxiliar instalada no carro dos bombeiros. Nas condições de projeto, a pressão na entrada do bocal é 700 kPa (manométrica), e a queda de pressão ao longo da mangueira é de 750 kPa por 100 m de comprimento. Determine:
(b) a velocidade de saída do bocal, considerando inexistência de perdas neste;
(b) a velocidade de saída do bocal, considerando inexistência de perdas neste;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e identificar de que matéria estamos falando. Aqui, temos um sistema de mangueira de incêndio conectada a um bocal. Queremos descobrir a velocidade com que a água sai desse bocal, assumindo que não há perdas de energia no próprio bocal.
Conteúdo da matéria: Mecânica dos Fluidos, especificamente o Teorema de Bernoulli e a equação de continuidade.
O que vamos precisar:
- Pressões fornecidas na mangueira e no bocal.
- Comprimento e diâmetro da mangueira.
- Conceitos de conservação de energia para fluidos em escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as pressões envolvidas. A água entra na mangueira com uma pressão de 350 kPa (manométrica) e, na entrada do bocal, a pressão é de 700 kPa. Além disso, sabemos que a queda de pressão ao longo da mangueira de 100 m é de 750 kPa.
Teoria aplicada: O manômetro nos dá a diferença de pressão em pontos diferentes do sistema. A pressão aumenta na entrada do bocal devido à resistência no fluxo pela mangueira.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Bernoulli entre dois pontos: o ponto onde a água entra na mangueira (P1) e a entrada do bocal (P2).
A equação de Bernoulli é dada por:
Assumptions:
- A altura $ h $ não muda significativamente, então $ h_1 \approx h_2 $ e podemos cancelar esses termos.
- A área da mangueira e do bocal são diferentes, então as velocidades $ v_1 $ e $ v_2 $ são diferentes.
Passo 4
Vamos simplificar a equação de Bernoulli, já que $ h_1 = h_2 $:
Queremos encontrar $ v_2 $, a velocidade de saída do bocal. Precisamos relacionar $ v_1 $ e $ v_2 $ usando a equação de continuidade.
Equação de Continuidade:
Onde $ A $ é a área da seção transversal.
Passo 5
Vamos calcular as áreas. O diâmetro da mangueira é $ 3,5 $ cm, então o raio $ r = 1,75 $ cm = 0,0175 m.
Área da mangueira ($ A_1 $):
O bocal geralmente tem um diâmetro menor, mas como não foi fornecido, vamos assumir que a área de saída seja igual à da mangueira para simplificar, já que não há informações sobre o bocal.
Nota: Se o diâmetro do bocal for diferente, precisaríamos desse valor para calcular a área $ A_2 $.
Passo 6
Agora, usando a equação de continuidade, e assumindo $ A_1 = A_2 $:
Substituindo na equação de Bernoulli:
Isso resulta em $ P_1 = P_2 $, o que não faz sentido, indicando que nossa suposição de $ A_1 = A_2 $ está errada.
Passo 7
Vamos reconsiderar o problema. A queda de pressão ao longo da mangueira é de 750 kPa para 100 m, então a pressão na entrada do bocal ($ P_2 $) é 700 kPa. Portanto, a pressão na mangueira antes do aumento no bocal é:
Isso não é possível, indicando que precisamos revisar os dados ou a abordagem.
Passo 8
Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos reorganizar as informações:
- Pressão fornecida pelo hidrante: 350 kPa.
- Pressão na entrada do bocal: 700 kPa.
- Queda de pressão na mangueira: 750 kPa por 100 m.
Parece que a pressão na entrada do bocal é maior do que a fornecida pelo hidrante, o que não é possível diretamente. Provavelmente, a bomba auxiliar está aumentando a pressão.
Vamos considerar que a bomba adiciona pressão adicional. A pressão total fornecida pela mangueira é a soma da pressão do hidrante e da bomba:
E essa pressão total sofre uma queda na mangueira de 750 kPa, chegando a 700 kPa no bocal:
Então:
Logo, a pressão adicionada pela bomba é:
Passo 9
Agora, vamos aplicar Bernoulli entre a entrada da bomba e a saída do bocal. Considerando que não há perdas no bocal:
Onde:
- $ P_{total} = 1450 , \mathrm{kPa} = 1.450 \times 10^3 , \mathrm{kPa} $
- $ \rho $ é a densidade da água ($ \approx 1000 , \mathrm{kg/m^3} $)
- $ v_2 $ é a velocidade que queremos encontrar.
Rearranjando a equação para $ v_2 $:
Passo 10
Vamos converter a pressão para Pascals para manter as unidades consistentes:
Agora, substituindo os valores na equação:
Resposta
A velocidade de saída do bocal é aproximadamente $ 53,85 , \mathrm{m/s} $.