Um bocal é conectado a uma mangueira de incêndio lisa, revestida de borracha, com 100 m de comprimento e 3,5 cm de diâmetro. Água de um hidrante é fornecida a 350 kPa (manométrica) para uma bomba auxiliar instalada no carro dos bombeiros. Nas condições de projeto, a pressão na entrada do bocal é 700 kPa (manométrica), e a queda de pressão ao longo da mangueira é de 750 kPa por 100 m de comprimento. Determine:
(b) a velocidade de saída do bocal, considerando inexistência de perdas neste;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e identificar de que matéria estamos falando. Aqui, temos um sistema de mangueira de incêndio conectada a um bocal. Queremos descobrir a velocidade com que a água sai desse bocal, assumindo que não há perdas de energia no próprio bocal.
Conteúdo da matéria: Mecânica dos Fluidos, especificamente o Teorema de Bernoulli e a equação de continuidade.
O que vamos precisar:
  • Pressões fornecidas na mangueira e no bocal.
  • Comprimento e diâmetro da mangueira.
  • Conceitos de conservação de energia para fluidos em escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as pressões envolvidas. A água entra na mangueira com uma pressão de 350 kPa (manométrica) e, na entrada do bocal, a pressão é de 700 kPa. Além disso, sabemos que a queda de pressão ao longo da mangueira de 100 m é de 750 kPa.
Teoria aplicada: O manômetro nos dá a diferença de pressão em pontos diferentes do sistema. A pressão aumenta na entrada do bocal devido à resistência no fluxo pela mangueira.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Bernoulli entre dois pontos: o ponto onde a água entra na mangueira (P1) e a entrada do bocal (P2).
A equação de Bernoulli é dada por:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Assumptions:
  • A altura $ h $ não muda significativamente, então $ h_1 \approx h_2 $ e podemos cancelar esses termos.
  • A área da mangueira e do bocal são diferentes, então as velocidades $ v_1 $ e $ v_2 $ são diferentes.

Passo 4

Vamos simplificar a equação de Bernoulli, já que $ h_1 = h_2 $:
h1 = h2
Queremos encontrar $ v_2 $, a velocidade de saída do bocal. Precisamos relacionar $ v_1 $ e $ v_2 $ usando a equação de continuidade.
Equação de Continuidade:
P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2
Onde $ A $ é a área da seção transversal.

Passo 5

Vamos calcular as áreas. O diâmetro da mangueira é $ 3,5 $ cm, então o raio $ r = 1,75 $ cm = 0,0175 m.
Área da mangueira ($ A_1 $):
3,5
O bocal geralmente tem um diâmetro menor, mas como não foi fornecido, vamos assumir que a área de saída seja igual à da mangueira para simplificar, já que não há informações sobre o bocal.
Nota: Se o diâmetro do bocal for diferente, precisaríamos desse valor para calcular a área $ A_2 $.

Passo 6

Agora, usando a equação de continuidade, e assumindo $ A_1 = A_2 $:
A1 = A2
Substituindo na equação de Bernoulli:
v1 = v2
Isso resulta em $ P_1 = P_2 $, o que não faz sentido, indicando que nossa suposição de $ A_1 = A_2 $ está errada.

Passo 7

Vamos reconsiderar o problema. A queda de pressão ao longo da mangueira é de 750 kPa para 100 m, então a pressão na entrada do bocal ($ P_2 $) é 700 kPa. Portanto, a pressão na mangueira antes do aumento no bocal é:
P2 ã
Isso não é possível, indicando que precisamos revisar os dados ou a abordagem.

Passo 8

Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos reorganizar as informações:
  • Pressão fornecida pelo hidrante: 350 kPa.
  • Pressão na entrada do bocal: 700 kPa.
  • Queda de pressão na mangueira: 750 kPa por 100 m.
Parece que a pressão na entrada do bocal é maior do que a fornecida pelo hidrante, o que não é possível diretamente. Provavelmente, a bomba auxiliar está aumentando a pressão.
Vamos considerar que a bomba adiciona pressão adicional. A pressão total fornecida pela mangueira é a soma da pressão do hidrante e da bomba:
Ptotal = Phidrante + Pbomba = 350 , kPa + Pbomba
E essa pressão total sofre uma queda na mangueira de 750 kPa, chegando a 700 kPa no bocal:
Ptotal - 750 , kPa = 700 , kPa
Então:
Ptotal = 700 , kPa + 750 , kPa = 1450 , kPa
Logo, a pressão adicionada pela bomba é:
Pbomba = 1450 , kPa - 350 , kPa = 1100 , kPa

Passo 9

Agora, vamos aplicar Bernoulli entre a entrada da bomba e a saída do bocal. Considerando que não há perdas no bocal:
Ptotal = 12 rho v2^2
Onde:
  • $ P_{total} = 1450 , \mathrm{kPa} = 1.450 \times 10^3 , \mathrm{kPa} $
  • $ \rho $ é a densidade da água ($ \approx 1000 , \mathrm{kg/m^3} $)
  • $ v_2 $ é a velocidade que queremos encontrar.
Rearranjando a equação para $ v_2 $:
Ptotal = 1450 , kPa = 1.450 times 10^3 , kPa

Passo 10

Vamos converter a pressão para Pascals para manter as unidades consistentes:
Ptotal = 1.450 times 10^3 , kPa = 1.450 times 10^6 , Pa
Agora, substituindo os valores na equação:
v2 = raiz2 times 1.450 times 10^61000 = raiz2.900 times 10^61000 = raiz2900 approx 53,85 , m/s

Resposta

A velocidade de saída do bocal é aproximadamente $ 53,85 , \mathrm{m/s} $.

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