A água escoa com uma vazão de 0,15 m^3 / s por uma seção de 200 m de comprimento e 200mm de diâmetro. Essa extensão liga um ponto A na cota topográfica de 85,0 m, no qual a pressão interna é de 275 kN / m^2, a um ponto B na cota topográfica de 65,0 m, no qual a pressão interna é de 325 kN / m^2. Calcule a perda de carga entre A e B, a velocidade de atrito e indique o sentido do escoamento

Passo 1

Vamos resumir o que o problema está nos dizendo e identificar o que precisamos para resolver. Temos uma tubulação de água com:
  • Vazão: $ Q = 0,15 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $
  • Comprimento: $ L = 200 , \mathrm{m} $
  • Diâmetro: $ d = 200 , \mathrm{mm} = 0,2 , \mathrm{m} $
Essa tubulação conecta:
  • Ponto A:
    • Cota topográfica: $ h_A = 85,0 , \mathrm{m} $
    • Pressão interna: $ P_A = 275 , \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 $
  • Ponto B:
    • Cota topográfica: $ h_B = 65,0 , \mathrm{m} $
    • Pressão interna: $ P_B = 325 , \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 $
Precisamos calcular:
  1. Perda de carga entre A e B.
  2. Velocidade de atrito.
  3. Sentido do escoamento.
Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente a Equação de Bernoulli com perda de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do fluxo na tubulação. Sabemos que a vazão $ Q $ é relacionada com a velocidade $ V $ e a área da seção transversal $ A $ pela fórmula:
Q
Onde a área $ A $ de um tubo circular é:
V
Então, vamos calcular $ A $:
A
Agora, isolamos $ V $:
Q = V times A

Passo 3

Agora, vamos usar a Equação de Bernoulli entre os pontos A e B, incluindo a perda de carga $ h_f $:
hf
Onde:
  • $ \gamma $ é o peso específico da água ($ \gamma = 9810 , \mathrm{N}/\mathrm{m}^3 $)
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ g = 9,81 , \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 $)
  • $ V_A \approx V_B = V $ (assumindo velocidade constante na tubulação)
Como a velocidade é a mesma nos dois pontos, podemos simplificar:
PAgamma + hA + VA^22g = PBgamma + hB + VB^22g + hf
Isolando $ h_f $:
gamma

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. Diferença de pressão:
PA - PB = 275 , kN/m^2 - 325 , kN/m^2 = -50 , kN/m^2
Convertendo para $ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 $:
N/m^2
  1. Dividindo pela peso específico:
-50 , kN/m^2 = -50.000 , N/m^2
  1. Diferença de cota topográfica:
-50.0009810 approx -5,10 , m
  1. Calculando $ h_f $:
hA - hB = 85,0 , m - 65,0 , m = 20,0 , m

Passo 5

A perda de carga $ h_f $ representa a energia perdida devido ao atrito na tubulação. Agora, para encontrar a velocidade de atrito $ f $, podemos usar a fórmula de Darcy-Weisbach:
hf
Isolando $ f $:
f
Substituindo os valores:
hf = f times Ld times V^22g
Primeiro, calculamos $ \frac{V^2}{2g} $:
f
Agora, substituímos:
f = hf times dL times V^22g

Passo 6

Por fim, para determinar o sentido do escoamento, observamos as pressões internas e as cotas topográficas. O ponto A está em uma cota mais alta (85,0 m) com menor pressão (275 kN/m²) e o ponto B está em uma cota mais baixa (65,0 m) com maior pressão (325 kN/m²).
Como a pressão em B é maior que em A e a cota de B é menor, o fluido tende a se mover do ponto B para o ponto A, ou seja, de alta pressão e baixa cota para baixa pressão e alta cota, até igualar as pressões.

Resposta

A perda de carga entre A e B é de aproximadamente $ 14,90 , \mathrm{m} $. A velocidade de atrito é de cerca de $ 0,0128 $. O sentido do escoamento é do ponto B para o ponto A.

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