Um bocal convergente com diâmetros de 100 mm na entrada e 75 mm na saída é utilizado em um sistema de escoamento para garantir uma velocidade de 3,5 \mathrm{m} / \mathrm{s} na extremidade menor. Determine:
a) A velocidade do fluido na seção de entrada do bocal.
b) A vazão volumétrica do escoamento.

Passo 1

O enunciado fornece um bocal convergente com dois diâmetros e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro na entrada: \,d_1 = 100\\ \mathrm{mm}.
    • Diâmetro na saída (extremidade menor): \,d_2 = 75\\ \mathrm{mm}.
    • Velocidade conhecida na extremidade menor: \,v_2 = 3{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Perguntas:
    a) Determinar a velocidade do fluido na seção de entrada do bocal ( v_1).
    b) Determinar a vazão volumétrica do escoamento ( Q).

Passo 2

Converter os diâmetros para unidades do SI (metros), porque as fórmulas usam metros:
d_1 = 100\\ \mathrm{mm} = 0{,}100\\ \mathrm{m}, \qquad d_2 = 75\\ \mathrm{mm} = 0{,}075\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular as áreas das seções circulares usando a fórmula da área de um círculo:
A = \frac{\pi d^{2}}{4},
onde A é a área da seção e d é o diâmetro. Aplicando para cada seção:
Para a seção de entrada:
A_1 = \frac{\pi (0{,}100)^{2}}{4} = \frac{\pi \cdot 0{,}0100}{4} = \pi \cdot 0{,}00250 \approx 0{,}00785398\\ \mathrm{m^{2}}.
Para a seção menor (saída):
A_2 = \frac{\pi (0{,}075)^{2}}{4} = \frac{\pi \cdot 0{,}005625}{4} = \pi \cdot 0{,}00140625 \approx 0{,}00441786\\ \mathrm{m^{2}}.
Observação: a razão entre áreas também é \dfrac{A_2}{A_1} = \left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^{2} = (0{,}75)^{2} = 0{,}5625.

Passo 4

Usar a equação da continuidade para escoamento incompressível e estacionário: a vazão volumétrica Q é constante ao longo do bocal, então
Q = A_1 v_1 = A_2 v_2.
Para achar v_1 isolamos:
v_1 = \frac{A_2}{A_1}\,v_2.
Substituindo os valores:
v_1 = 0{,}5625 \times 3{,}5 = 1{,}96875\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
v_1 \approx 1{,}97\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a vazão volumétrica Q. Usar Q=A_2 v_2 (pode usar qualquer seção; o resultado será o mesmo):
Q = A_2 v_2 \approx 0{,}00441786 \times 3{,}5 = 0{,}0154625\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Arredondando:
Q \approx 0{,}01546\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Verificação rápida usando a seção 1: Q = A_1 v_1 \approx 0{,}00785398 \times 1{,}96875 \approx 0{,}0154625\\ \mathrm{m^{3}/s} — coincide, ok.

Passo 6

Observações e hipóteses usadas (importante na prova):
  • Foi assumido escoamento incompressível e estacionário (caso típico para líquidos e escoamentos de baixa velocidade).
  • Usou-se apenas a conservação de vazão (continuidade), sem considerar perdas de energia, atrito, compressibilidade ou variações de densidade.
  • Resultado apresentado com arredondamento adequado; em exercício de prova, informe os passos e valores intermediários como fiz aqui.

Resposta

a) v_1 \approx 1{,}97\\ \mathrm{m/s}
b) Q \approx 0{,}01546\\ \mathrm{m^{3}/s}

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