Um bocal com diâmetro de saída de 4 cm é preso a uma tubulação de 10 cm de diâmetro, transportando 0,1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água. A força necessária para segurar o bocal na tubulação é de aproximadamente:
(a) 6,7 \mathrm{kN}
(b) 12,2 \mathrm{kN}
(c) 17,5 \mathrm{kN}
(d) 24,2 \mathrm{kN}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que ele dá.
  • O enunciado pede a força necessária para segurar o bocal na tubulação, ou seja, a reação causada pela mudança de momento do jato de água ao passar da tubulação para o bocal.
  • Dados fornecidos pelo enunciado:
    • Vazão volumétrica \,Q=0,1\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    • Diâmetro da tubulação \,D_1=0,10\\ \mathrm{m} (10 cm).
    • Diâmetro do bocal (saída) \,D_2=0,04\\ \mathrm{m} (4 cm).
    • Trata-se de água; usaremos a densidade padrão \,\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • O enunciado apresenta quatro alternativas numéricas; precisamos calcular a força e escolher a alternativa que coincide com o resultado.

Passo 2

Área das seções (fórmula e cálculo). Por que usar área: para relacionar vazão e velocidade usamos a equação da continuidade \,Q=A\cdot V, então precisamos das áreas.
  • Fórmula da área de um círculo: \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}, onde \,D é o diâmetro.
  • Área da tubulação (seção maior) \,A_1: A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi (0,10)^2}{4}=\frac{\pi \cdot 0,01}{4}=0,0025\pi\\ \mathrm{m^2}.Numérico: A_1\approx 0,0025\pi\approx 0,007854\\ \mathrm{m^2}.
  • Área do bocal (seção menor) \,A_2: A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi (0,04)^2}{4}=\frac{\pi \cdot 0,0016}{4}=0,0004\pi\\ \mathrm{m^2}.Numérico: A_2\approx 0,0004\pi\approx 0,001257\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Velocidades nas seções usando continuidade (ensino rápido sobre a fórmula). A equação da continuidade para escoamento incompressível e estacionário diz que a vazão volumétrica \,Q é a mesma em qualquer seção: \,Q=A\cdot V. Portanto \,V=Q/A.
  • Velocidade na tubulação (antes do bocal) \,V_1: V_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{0,1}{0,007854}\\ \mathrm{m/s}.Calculando: V_1\approx 12,73\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade na saída do bocal \,V_2: V_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{0,1}{0,001257}\\ \mathrm{m/s}.Calculando: V_2\approx 79,58\\ \mathrm{m/s}.
  • Observação didática: reduzir a área aumenta a velocidade; aqui a velocidade na saída é muito maior porque o diâmetro caiu de 0,10\\ \mathrm{m} para 0,04\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Vazão mássica (o que é e como calcular). Para usar a equação de quantidade de movimento precisamos da vazão mássica \,\dot{m}=\rho Q. A vazão mássica tem unidade \mathrm{kg/s} e representa a massa de fluido que atravessa a seção por segundo.
  • Cálculo: \dot{m}=\rho\,Q=1000\cdot 0,1=100\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Equação da quantidade de movimento (intuição e aplicação). Ideia: a força que o bocal exerce sobre a tubulação (ou que é necessária para segurar o bocal) é igual à variação de quantidade de movimento por unidade de tempo do fluido que atravessa a seção, isto é:
F=\dot{m}\,(V_2-V_1),
assumindo escoamento unidimensional e que pressões externas (atmosfera) nas aberturas se equilibram ou foram consideradas no controle. Explicando: \dot{m}\,V é o fluxo de momento; a diferença entre saída e entrada dá a variação que precisa ser equilibrada por uma força sobre o corpo.
  • Unidade: \dot{m} em \mathrm{kg/s}, V em \mathrm{m/s} F em \mathrm{N}.

Passo 6

Aplicar a fórmula numericamente e calcular a força.
  • Substituindo valores: F=\dot{m}(V_2-V_1)=100\cdot(79,58-12,73)\\ \mathrm{N}.
V_2-V_1\approx 66,85\\ \mathrm{m/s}.
F\approx 100\cdot 66,85=6685\\ \mathrm{N}.
  • Converter para quilonewtons: F\approx 6,685\\ \mathrm{kN}\approx 6,7\\ \mathrm{kN}.

Passo 7

Discussão rápida das hipóteses e escolha da alternativa.
  • Hipóteses usadas: escoamento estacionário, incompressível, 1D; pressões atmosféricas nas aberturas não produzem forças líquidas adicionais (ou foram balanceadas ao escolher o controle). Em problemas de nível de prova esse procedimento (força = \dot{m}\Delta V) é o esperado e dá a resposta numérica correta.
  • Comparando com as alternativas fornecidas, o valor calculado corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) 6,7\\ \mathrm{kN}

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