Ar atmosférico a 27^{\circ} \mathrm{C} escoa paralelamente sobre uma placa plana isotérmica mantida a 60^{\circ} \mathrm{C}. A placa possui 3,0 \mathrm{~m} de comprimento na direção do escoamento e 1,0 \mathrm{~m} de largura. Devido à configuração do duto, a velocidade da corrente livre igual a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine: a) (10pts) O número de Reynolds local na extremidade da placa, em x=3,0 \mathrm{~m}; b) ( 10 pts ) A posição aproximada em que ocorre a transição da camada-limite, isto é, a posição em que R e_{x}=R e_{c r}; c) (10pts) A taxa de transferência de calor nos primeiros 50 cm da placa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do escoamento: T_\infty = 27^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura da placa: T_w = 60^\circ\mathrm{C}.
    • Comprimento da placa (na direção do escoamento): L_{\text{placa}} = 3{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Largura da placa (perpendicular ao escoamento): b = 1{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade da corrente livre: U_\infty = 5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • O que precisa ser determinado:
    a) O número de Reynolds local na extremidade da placa, isto é \mathrm{Re}_x em x=3{,}0\\ \mathrm{m}.
    b) A posição aproximada x_{cr} onde ocorre a transição da camada-limite, isto é onde \mathrm{Re}_x = \mathrm{Re}_{cr}.
    c) A taxa de transferência de calor (potência) nos primeiros 0{,}50\\ \mathrm{m} da placa.
Observação: para avaliar propriedades do ar (viscosidade cinemática \nu, número de Prandtl \mathrm{Pr} e condutividade térmica k) vou usar valores aproximados tomados em temperatura de filme \,T_f=(T_\infty+T_w)/2. Vou explicitar esses valores no passo seguinte.

Passo 2

Definições e valores de propriedades do ar (escolha e justificativa).
  • A temperatura de filme é
T_f=\frac{T_\infty+T_w}{2}=\frac{27+60}{2}=43{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Para ar em torno de T_f uso valores tabelados aproximados:
    • viscosidade cinemática: \nu \approx 1{,}70\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},
    • número de Prandtl: \mathrm{Pr}\approx 0{,}70,
    • condutividade térmica: k\approx 0{,}0275\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Comentário didático rápido: \nu mede a “viscosidade por unidade de densidade” do fluido e é usada para calcular o número de Reynolds \mathrm{Re}_x=U_\infty x/\nu. O número de Prandtl \mathrm{Pr} relaciona transporte de quantidade de movimento e transporte de calor e aparece em correlações de Nusselt. Usei valores médios (aproximados) porque as propriedades variam pouco naquele intervalo de temperatura; isso é prática comum em problemas de convecção.

Passo 3

Cálculo do número de Reynolds local em x=3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Definição do número de Reynolds local:
\mathrm{Re}_x=\frac{U_\infty x}{\nu},
onde U_\infty é a velocidade livre, x é a coordenada ao longo da placa e \nu é a viscosidade cinemática do ar.
  • Substituindo os valores:
\mathrm{Re}_{x=3{,}0}=\frac{5{,}0\cdot 3{,}0}{1{,}70\times 10^{-5}}=\frac{15}{1{,}70\times 10^{-5}}.
  • Cálculo numérico:
\mathrm{Re}_{x=3{,}0}\approx 8{,}82\times 10^{5}.
Interpretação: esse valor diz que na extremidade da placa o escoamento tem Reynolds da ordem de 10^{6}, o que normalmente indica que a camada limite já está turbulenta nessa região (mas a transição pode ocorrer antes; veremos no próximo passo).

Passo 4

Determinação aproximada da posição de transição x_{cr} (onde \mathrm{Re}_x=\mathrm{Re}_{cr}).
  • Critério usual: para uma placa plana em escoamento externo, uma estimativa típica do número de Reynolds crítico é
\mathrm{Re}_{cr}\approx 5{,}0\times 10^5,
valor usado quando a turbulência do escoamento livre é baixa (condição clássica de laboratório/problemas didáticos). Vou usar esse valor pois é o mais comumente adotado.
  • Usando \mathrm{Re}_x=U_\infty x/\nu e isolando x:
x_{cr}=\frac{\mathrm{Re}_{cr}\,\nu}{U_\infty}.
  • Substituindo números:
x_{cr}=\frac{5{,}0\times 10^{5}\cdot 1{,}70\times 10^{-5}}{5{,}0}.
  • Cálculo numérico:
x_{cr}=\frac{8{,}5}{5{,}0}=1{,}70\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a transição é esperada por volta de x\approx 1{,}7\\ \mathrm{m}. Como isso é maior que 0{,}50\\ \mathrm{m}, a porção inicial de 0{,}50\\ \mathrm{m} é laminar (importante para o item c).

Passo 5

Escolha da correlação de convecção e estratégias para calcular a taxa de calor nos primeiros 0{,}50\\ \mathrm{m}.
Explicação didática:
  • Para uma placa plana isotérmica com escoamento externo e camada-limite laminar, a correlação para o número de Nusselt local é (para \mathrm{Pr}\gtrsim 0{,}6 e região laminar):
\mathrm{Nu}_x=0{,}332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3},
onde \mathrm{Nu}_x=\dfrac{h_x x}{k} e h_x é o coeficiente convectivo local em x.
  • Assim, o coeficiente local é
h_x=\frac{k\,\mathrm{Nu}_x}{x}=k\cdot 0{,}332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}\cdot\frac{1}{x}.
  • Como \mathrm{Re}_x=(U_\infty x)/\nu, então \mathrm{Re}_x^{1/2}=(U_\infty/\nu)^{1/2}x^{1/2}. Substituindo em h_x obtemos
h_x = k\cdot 0{,}332\,\mathrm{Pr}^{1/3}\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}x^{-1/2}.
  • O fluxo de calor por unidade de área em x é
\dot{q}''(x)=h_x\,(T_w-T_\infty).
  • A potência total nos primeiros L=0{,}50\\ \mathrm{m} sobre a largura b é
\dot{Q} = b\int_{0}^{L} \dot{q}''(x)\,dx = b\,k\cdot 0{,}332\,\mathrm{Pr}^{1/3}\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}(T_w-T_\infty)\int_{0}^{L} x^{-1/2}\,dx.
  • Integrando \int_0^L x^{-1/2}dx = 2L^{1/2}. Portanto
\dot{Q}= b\,k\cdot 0{,}332\cdot 2\,\mathrm{Pr}^{1/3}\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}(T_w-T_\infty)L^{1/2}.
  • Simplificando os coeficientes:
\dot{Q}= b\,k\cdot 0{,}664\,\mathrm{Pr}^{1/3}\left(\frac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}(T_w-T_\infty)L^{1/2}.
Observação didática: essa expressão é a integração do fluxo laminar local; é válida apenas enquanto a camada-limite for laminar em todo o intervalo de integração — aqui confirmamos isso no passo 4.

Passo 6

Cálculo numérico da taxa de calor nos primeiros 0{,}50\\ \mathrm{m} usando a fórmula obtida.
  • Dados numéricos:
    • b=1{,}0\\ \mathrm{m},
    • k=0{,}0275\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
    • \mathrm{Pr}^{1/3}=(0{,}70)^{1/3}\approx 0{,}888,
    • \left(\dfrac{U_\infty}{\nu}\right)^{1/2}=\left(\dfrac{5{,}0}{1{,}70\times 10^{-5}}\right)^{1/2}\approx 542{,}5,
    • \Delta T = T_w-T_\infty = 60-27 = 33\\ \mathrm{K},
    • L^{1/2}=\sqrt{0{,}50}\approx 0{,}7071.
  • Agora calculo passo a passo:
    • 0{,}664\cdot\mathrm{Pr}^{1/3}=0{,}664\cdot 0{,}888\approx 0{,}5896.
    • k\cdot(0{,}664\,\mathrm{Pr}^{1/3})=0{,}0275\cdot 0{,}5896\approx 0{,}016216.
    • Multiplicando por \left(U_\infty/\nu\right)^{1/2}: 0{,}016216\cdot 542{,}5 \approx 8{,}8067.
    • Multiplicando por \Delta T=33: 8{,}8067\cdot 33 \approx 290{,}62.
    • Multiplicando por L^{1/2}=0{,}7071: 290{,}62\cdot 0{,}7071 \approx 205{,}54.
    • Multiplicando por b=1{,}0 não altera: \dot{Q}\approx 205{,}5\\ \mathrm{W}.
Resultado numérico arredondado: \dot{Q}\approx 2{,}06\times 10^{2}\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Resumo físico e checagens rápidas (conforto mental).
  • O número de Reynolds em x=3{,}0\\ \mathrm{m} ficou \mathrm{Re}_{x}\approx 8{,}8\times 10^{5}, o que indica região turbulenta nessa ponta da placa — consistente com x_{cr} menor que 3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • A posição de transição estimada é x_{cr}\approx 1{,}7\\ \mathrm{m} (usando \mathrm{Re}_{cr}=5\times 10^{5}). Portanto os primeiros 0{,}50\\ \mathrm{m} estão confortavelmente em regime laminar e a fórmula laminar usada no cálculo da potência é adequada.
  • A potência total retirada por convecção termicamente dos primeiros 0{,}50\\ \mathrm{m} da placa (largura 1{,}0\\ \mathrm{m}) é cerca de 206\\ \mathrm{W}.

Resposta

\mathrm{(a)}\\ \mathrm{Re}_{x=3{,}0} \approx 8{,}82\times 10^{5}
\mathrm{(b)}\\ x_{cr}\approx 1{,}70\\ \mathrm{m}
\mathrm{\text{(c)}}\\ \dot{Q}_{0\to 0{,}50\\ \mathrm{m}}\approx 2{,}06\times 10^{2}\\ \mathrm{W}

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