Um sanduíche quente pode ser idealizado, de forma simplificada, como um corpo sólido homogêneo de geometria esférica. Considere que um sanduíche inicialmente a 70^{\circ} \mathrm{C} seja exposto ao ar ambiente a 20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente convectivo médio de (18 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right)). Para fins de modelagem, aproxime o sanduíche como uma esfera equivalente de diâmetro 10 cm . As propriedades térmicas equivalentes do alimento são: k=0,45 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}), p=980 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, c_{p}=3200 \mathrm{~J} /(\mathrm{kgK}). Determine: a) (15pts) a temperatura no centro do sanduíche após 60 min de resfriamento; b) ( 15 pts ) a quantidade de calor transferida para o ambiente nesse intervalo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os valores e perguntas estão escritos com as unidades).
Geometria: sanduíche modelado como esfera de diâmetro 10\\ \mathrm{cm}. Logo o raio éR=\frac{10\\ \mathrm{cm}}{2}=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
Condições iniciais e de contorno:
Temperatura inicial do sanduíche: T_i=70^\circ\mathrm{C}.
Temperatura do ar ambiente (fluido): T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
Tempo considerado: t=60\\ \mathrm{min}=3600\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede:
(a) a temperatura no centro da esfera após 60 min;
(b) a quantidade de calor transferida para o ambiente nesse intervalo.
Passo 2
Escolher o método de resolução (explicando por que). Para problemas de resfriamento transiente em corpos sólidos com convecção na superfície existem duas abordagens comuns:
Aproximação de capacidade concentrada (lumped capacitance): válida quando o número de Biot é pequeno (\mathrm{Bi}\lesssim0{,}1). É a forma mais simples.
Solução de condução transiente espacial (série de autovalores / Heisler charts / aproximação de primeiro termo): usada quando há gradientes internos significativos (\mathrm{Bi} maior).
Vou testar o critério de Biot para decidir. Para uma esfera costuma-se usar a forma com R como comprimento característico no estudo dos autovalores; para o critério simples de lumped capacitance define-se normalmente L_c=V/A=R/3 e \mathrm{Bi}=\dfrac{hL_c}{k}. Vou calcular ambos para explicar bem.
Passo 3
Calcular os números de Biot e a difusividade térmica.
Comprimento característico para critério lumped: L_c=\dfrac{V}{A}=\dfrac{R}{3}= \dfrac{0{,}05}{3}=0{,}0166667\\ \mathrm{m}.
Biot (usando L_c):\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{18\cdot 0{,}0166667}{0{,}45}\approx 0{,}6667.Como \mathrm{Bi}\approx0{,}667\gg0{,}1, a hipótese lumped não é válida: haverá gradientes internos e precisamos usar a solução espacial de condução transiente.
Para usar a solução da esfera com condição de convecção na superfície é comum definir \mathrm{Bi}'=\dfrac{hR}{k}. Calculemos:\mathrm{Bi}'=\frac{hR}{k}=\frac{18\cdot 0{,}05}{0{,}45}=2{,}0.(Vou usar \mathrm{Bi}' nas equações que aparecem abaixo.)
Formula da solução por separação de variáveis (resumo didático):
A solução da equação de condução transiente para uma esfera com convecção na superfície pode ser escrita como série de modos próprios. O comportamento temporal é somatório de termos da forma \exp(-\lambda_n^2 \mathrm{Fo}), onde \lambda_n são autovalores que dependem de \mathrm{Bi}' (ou hR/k).
Os autovalores \lambda_n são raízes da condição transcendental obtida aplicando a condição convectiva na superfície. A equação que aparece ao resolver o problema é (mostrando a derivação curta):
As funções radiais têm a forma \dfrac{\sin(\lambda \rho)}{\rho} com \rho=r/R. Aplicando a condição -k \left.\dfrac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R}=h [T(R,t)-T_\infty] chega-se à equação transcendental
No nosso caso \mathrm{Bi}'=2{,}0. Assim:\tan\lambda=\frac{\lambda}{1-2}=\frac{\lambda}{-1}=-\lambda,ou seja\tan\lambda + \lambda = 0.Essa equação tem infinitas raízes; o primeiro autovalor positivo (o dominante no decaimento) é \lambda_1. Vamos obtê-lo numericamente.
Passo 6
Encontrar \lambda_1 (primeira raiz de \tan\lambda + \lambda = 0).
Procuramos a primeira raiz positiva. Observações rápidas:
Em \lambda=1{,}5 (menor que \pi/2) temos \tan\lambda>0 e \tan\lambda+\lambda>0.
Existe uma raiz entre \pi/2\approx1{,}571 e \pi\approx3{,}142 porque \tan\lambda passa por -\infty nesse intervalo.
Fazendo uma busca numérica (método de tentativa/erro com aproximações): avaliando a função f(\lambda)=\tan\lambda+\lambda temos valores que indicam uma raiz próxima a \lambda\approx2{,}03. A raiz mais usada nas tabelas para \tan\lambda=-\lambda é\lambda_1\approx2{,}0288.
Passo 7
Preparar as fórmulas para o coeficiente do primeiro termo e para a temperatura central.
Ao expandir a solução em séries, os coeficientes podem ser escritos usando integrais; para o primeiro modo temos (a dedução usa ortogonalidade das funções próprias; aqui mostro as expressões que usaremos):
Para uma condição inicial uniforme, o coeficiente do primeiro modo (chamarei de a_1) valea_1=\frac{N}{D}.
O valor adimensional da temperatura no centro (onde \rho=0) na aproximação de primeiro termo é\theta(0,\mathrm{Fo})=\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}\approx a_1\cdot \lambda_1 \,e^{-\lambda_1^2\mathrm{Fo}},porque \lim_{\rho\to0}\dfrac{\sin(\lambda\rho)}{\rho}=\lambda.
Vamos calcular N e D analiticamente e em seguida numericamente com \lambda_1=2{,}0288.
Passo 8
Calcular N e D explicitamente e numericamente.
Calcular N:N=\int_{0}^{1}\rho\sin(\lambda\rho)\,d\rho.Integral por partes (ou antiderivada conhecida) dá\int \rho\sin(\lambda\rho)\,d\rho = -\frac{\rho\cos(\lambda\rho)}{\lambda} + \frac{\sin(\lambda\rho)}{\lambda^{2}}.Avaliando de 0 a 1:N=-\frac{\cos\lambda}{\lambda}+\frac{\sin\lambda}{\lambda^{2}}.
Calcular a temperatura no centro após t=3600\\ \mathrm{s} usando a aproximação de primeiro termo.
Primeiro calcule o fator exponencial:\lambda_1^2\mathrm{Fo}=(2{,}0288)^2\cdot 0{,}2066\approx 4{,}116\cdot 0{,}2066\approx0{,}850.Logo\exp(-\lambda_1^2\mathrm{Fo})\approx e^{-0{,}850}\approx0{,}427.
A dimensãoless no centro:\theta(0,\mathrm{Fo})\approx a_1\lambda_1 e^{-\lambda_1^2\mathrm{Fo}} \approx 0{,}7305\cdot 2{,}0288\cdot 0{,}427 \approx 0{,}632.
Agora a temperatura no centro:T(0,t)=T_\infty+\theta(0,\mathrm{Fo})\,(T_i-T_\infty) =20^\circ\mathrm{C}+0{,}632\cdot(70-20)^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático curto: a aproximação de primeiro termo é geralmente bastante boa para temperaturas centrais quando o tempo não é extremamente pequeno, porque o primeiro modo domina o decaimento temporal. Aqui o erro esperado é pequeno comparado à precisão requerida numa prova.
Passo 10
Calcular a quantidade de calor transferida para o ambiente no intervalo: usar conservação de energia (variação de energia interna do sanduíche).
Energia perdida pelo sanduíche:Q = m c_p (T_i - T_{\text{média}}(t)),éonde T_{\text{média}}(t)é é a temperatura média volumétrica do sanduíche no tempo t.
Precisamos então obter a temperatura média. Na aproximação de primeiro termo, a temperatura média adimensional \theta_{\text{avg}} pode ser expressa em termos das mesmas integrais N e D. Mostro a relação resumida (derivação pela expansão em modos e integração volumétrica):\theta_{\text{avg}}(t)\approx 3\,\frac{N^2}{D}\,e^{-\lambda_1^2\mathrm{Fo}}.(A constante 3 surge porque a média volumétrica sobre \rho\in[0,1] envolve \int_0^1 \rho^2 d\rho=1/3.)
Usando os números já calculados:\frac{N^2}{D}=\frac{(0{,}4366)^2}{0{,}5977}\approx\frac{0{,}1906}{0{,}5977}\approx0{,}3189,então\theta_{\text{avg}}\approx 3\cdot 0{,}3189\cdot e^{-0{,}850}\approx0{,}9567\cdot0{,}427\approx0{,}4086.
Temperatura média:T_{\text{média}}(t)=T_\infty+\theta_{\text{avg}}(T_i-T_\infty) =20^\circ\mathrm{C}+0{,}4086\cdot50^\circ\mathrm{C}\approx20+20{,}43\approx40{,}43^\circ\mathrm{C}.é
Agora a massa do sanduíche (esfera):V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi(0{,}05)^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 1{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3} =4{,}18879\times1{,}25\times10^{-4}\approx5{,}23599\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.
Capacidade térmica total m c_p:m c_p\approx 0{,}5121\cdot 3200\approx1638{,}8\\ \mathrm{J/K}.
Logo a energia liberada:Q=m c_p (T_i-T_{\text{média}})\approx1638{,}8\cdot(70-40{,}43)\\ \mathrm{J} =1638{,}8\cdot29{,}57\\ \mathrm{J}.éCálculo numérico:Q\approx1638{,}8\cdot29{,}57\approx48{,}4\times10^{3}\\ \mathrm{J}\approx48{,}4\\ \mathrm{kJ}.