Um sanduíche quente pode ser idealizado, de forma simplificada, como um corpo sólido homogêneo de geometria esférica. Considere que um sanduíche inicialmente a 70^{\circ} \mathrm{C} seja exposto ao ar ambiente a 20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente convectivo médio de (18 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right)). Para fins de modelagem, aproxime o sanduíche como uma esfera equivalente de diâmetro 10 cm . As propriedades térmicas equivalentes do alimento são: k=0,45 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}), p=980 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, c_{p}=3200 \mathrm{~J} /(\mathrm{kgK}). Determine: a) (15pts) a temperatura no centro do sanduíche após 60 min de resfriamento; b) ( 15 pts ) a quantidade de calor transferida para o ambiente nesse intervalo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os valores e perguntas estão escritos com as unidades).
  • Geometria: sanduíche modelado como esfera de diâmetro 10\\ \mathrm{cm}. Logo o raio é R=\frac{10\\ \mathrm{cm}}{2}=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Condições iniciais e de contorno:
    • Temperatura inicial do sanduíche: T_i=70^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do ar ambiente (fluido): T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente convectivo médio: h=18\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Propriedades térmicas do alimento:
    • Condutividade térmica k=0{,}45\\ \mathrm{W/(mK)}.
    • Densidade \rho=980\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Calor específico c_p=3200\\ \mathrm{J/(kgK)}.
  • Tempo considerado: t=60\\ \mathrm{min}=3600\\ \mathrm{s}.
  • O enunciado pede:
    (a) a temperatura no centro da esfera após 60 min;
    (b) a quantidade de calor transferida para o ambiente nesse intervalo.

Passo 2

Escolher o método de resolução (explicando por que). Para problemas de resfriamento transiente em corpos sólidos com convecção na superfície existem duas abordagens comuns:
  • Aproximação de capacidade concentrada (lumped capacitance): válida quando o número de Biot é pequeno ( \mathrm{Bi}\lesssim0{,}1). É a forma mais simples.
  • Solução de condução transiente espacial (série de autovalores / Heisler charts / aproximação de primeiro termo): usada quando há gradientes internos significativos ( \mathrm{Bi} maior).
Vou testar o critério de Biot para decidir. Para uma esfera costuma-se usar a forma com R como comprimento característico no estudo dos autovalores; para o critério simples de lumped capacitance define-se normalmente L_c=V/A=R/3 e \mathrm{Bi}=\dfrac{hL_c}{k}. Vou calcular ambos para explicar bem.

Passo 3

Calcular os números de Biot e a difusividade térmica.
  • Comprimento característico para critério lumped: L_c=\dfrac{V}{A}=\dfrac{R}{3}= \dfrac{0{,}05}{3}=0{,}0166667\\ \mathrm{m}.
  • Biot (usando L_c): \mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{18\cdot 0{,}0166667}{0{,}45}\approx 0{,}6667.Como \mathrm{Bi}\approx0{,}667\gg0{,}1, a hipótese lumped não é válida: haverá gradientes internos e precisamos usar a solução espacial de condução transiente.
  • Para usar a solução da esfera com condição de convecção na superfície é comum definir \mathrm{Bi}'=\dfrac{hR}{k}. Calculemos: \mathrm{Bi}'=\frac{hR}{k}=\frac{18\cdot 0{,}05}{0{,}45}=2{,}0.(Vou usar \mathrm{Bi}' nas equações que aparecem abaixo.)
  • Difusividade térmica: \alpha=\frac{k}{\rho c_p}=\frac{0{,}45}{980\cdot 3200}=\frac{0{,}45}{3{,}136\times10^{6}}\approx1{,}435\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 4

Calcular o número de Fourier (adimensional de tempo), que aparece nas soluções:
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{R^2}=\frac{1{,}435\times10^{-7}\cdot 3600}{(0{,}05)^2} =\frac{1{,}435\times10^{-7}\cdot 3600}{0{,}0025}\approx0{,}2066.

Passo 5

Formula da solução por separação de variáveis (resumo didático):
  • A solução da equação de condução transiente para uma esfera com convecção na superfície pode ser escrita como série de modos próprios. O comportamento temporal é somatório de termos da forma \exp(-\lambda_n^2 \mathrm{Fo}), onde \lambda_n são autovalores que dependem de \mathrm{Bi}' (ou hR/k).
  • Os autovalores \lambda_n são raízes da condição transcendental obtida aplicando a condição convectiva na superfície. A equação que aparece ao resolver o problema é (mostrando a derivação curta):
    • As funções radiais têm a forma \dfrac{\sin(\lambda \rho)}{\rho} com \rho=r/R. Aplicando a condição -k \left.\dfrac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R}=h [T(R,t)-T_\infty] chega-se à equação transcendental
    \tan \lambda = \frac{\lambda}{1-\mathrm{Bi}'},sendo \mathrm{Bi}'=\dfrac{hR}{k}.
  • No nosso caso \mathrm{Bi}'=2{,}0. Assim: \tan\lambda=\frac{\lambda}{1-2}=\frac{\lambda}{-1}=-\lambda,ou seja \tan\lambda + \lambda = 0.Essa equação tem infinitas raízes; o primeiro autovalor positivo (o dominante no decaimento) é \lambda_1. Vamos obtê-lo numericamente.

Passo 6

Encontrar \lambda_1 (primeira raiz de \tan\lambda + \lambda = 0).
  • Procuramos a primeira raiz positiva. Observações rápidas:
    • Em \lambda=1{,}5 (menor que \pi/2) temos \tan\lambda>0 e \tan\lambda+\lambda>0.
    • Existe uma raiz entre \pi/2\approx1{,}571 e \pi\approx3{,}142 porque \tan\lambda passa por -\infty nesse intervalo.
  • Fazendo uma busca numérica (método de tentativa/erro com aproximações): avaliando a função f(\lambda)=\tan\lambda+\lambda temos valores que indicam uma raiz próxima a \lambda\approx2{,}03. A raiz mais usada nas tabelas para \tan\lambda=-\lambda é \lambda_1\approx2{,}0288.

Passo 7

Preparar as fórmulas para o coeficiente do primeiro termo e para a temperatura central.
  • Ao expandir a solução em séries, os coeficientes podem ser escritos usando integrais; para o primeiro modo temos (a dedução usa ortogonalidade das funções próprias; aqui mostro as expressões que usaremos):
    • Defina (com 0\le\rho\le1) N=\int_{0}^{1}\rho\,\sin(\lambda\rho)\,d\rho \quad\text{e}\quad D=\int_{0}^{1}\sin^{2}(\lambda\rho)\,d\rho.
    • Para uma condição inicial uniforme, o coeficiente do primeiro modo (chamarei de a_1) vale a_1=\frac{N}{D}.
    • O valor adimensional da temperatura no centro (onde \rho=0) na aproximação de primeiro termo é \theta(0,\mathrm{Fo})=\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}\approx a_1\cdot \lambda_1 \,e^{-\lambda_1^2\mathrm{Fo}},porque \lim_{\rho\to0}\dfrac{\sin(\lambda\rho)}{\rho}=\lambda.
  • Vamos calcular N e D analiticamente e em seguida numericamente com \lambda_1=2{,}0288.

Passo 8

Calcular N e D explicitamente e numericamente.
  • Calcular N: N=\int_{0}^{1}\rho\sin(\lambda\rho)\,d\rho.Integral por partes (ou antiderivada conhecida) dá \int \rho\sin(\lambda\rho)\,d\rho = -\frac{\rho\cos(\lambda\rho)}{\lambda} + \frac{\sin(\lambda\rho)}{\lambda^{2}}.Avaliando de 0 a 1: N=-\frac{\cos\lambda}{\lambda}+\frac{\sin\lambda}{\lambda^{2}}.
  • Calcular D: D=\int_{0}^{1}\sin^{2}(\lambda\rho)\,d\rho =\frac{1}{2}\left[1-\frac{\sin(2\lambda)}{2\lambda}\right].
  • Agora números (usarei aproximações numéricas razoáveis para seno e cosseno em \lambda_1):
    • Para \lambda_1=2{,}0288 temos (valores aproximados): \sin\lambda_1\approx0{,}8960,\qquad \cos\lambda_1\approx-0{,}4440,
\sin(2\lambda_1)\approx-0{,}7930.
  • Calcule N: N=-\frac{\cos\lambda_1}{\lambda_1}+\frac{\sin\lambda_1}{\lambda_1^{2}} \approx -\frac{-0{,}4440}{2{,}0288}+\frac{0{,}8960}{(2{,}0288)^2}.Cálculo numérico: -\frac{-0{,}4440}{2{,}0288}\approx0{,}2189,\qquad \frac{0{,}8960}{4{,}116}\approx0{,}2177,então N\approx0{,}2189+0{,}2177=0{,}4366.
  • Calcule D: D=\frac{1}{2}\left[1-\frac{\sin(2\lambda_1)}{2\lambda_1}\right] \approx\frac{1}{2}\left[1-\frac{-0{,}7930}{4{,}0576}\right] =\frac{1}{2}\left[1+0{,}1954\right]\approx0{,}5977.
  • Portanto a_1=\frac{N}{D}\approx\frac{0{,}4366}{0{,}5977}\approx0{,}7305.

Passo 9

Calcular a temperatura no centro após t=3600\\ \mathrm{s} usando a aproximação de primeiro termo.
  • Primeiro calcule o fator exponencial: \lambda_1^2\mathrm{Fo}=(2{,}0288)^2\cdot 0{,}2066\approx 4{,}116\cdot 0{,}2066\approx0{,}850.Logo \exp(-\lambda_1^2\mathrm{Fo})\approx e^{-0{,}850}\approx0{,}427.
  • A dimensãoless no centro: \theta(0,\mathrm{Fo})\approx a_1\lambda_1 e^{-\lambda_1^2\mathrm{Fo}} \approx 0{,}7305\cdot 2{,}0288\cdot 0{,}427 \approx 0{,}632.
  • Agora a temperatura no centro: T(0,t)=T_\infty+\theta(0,\mathrm{Fo})\,(T_i-T_\infty) =20^\circ\mathrm{C}+0{,}632\cdot(70-20)^\circ\mathrm{C}.
T(0,t)\approx20+0{,}632\cdot50=20+31{,}6\approx51{,}6^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático curto: a aproximação de primeiro termo é geralmente bastante boa para temperaturas centrais quando o tempo não é extremamente pequeno, porque o primeiro modo domina o decaimento temporal. Aqui o erro esperado é pequeno comparado à precisão requerida numa prova.

Passo 10

Calcular a quantidade de calor transferida para o ambiente no intervalo: usar conservação de energia (variação de energia interna do sanduíche).
  • Energia perdida pelo sanduíche: Q = m c_p (T_i - T_{\text{média}}(t)),éonde T_{\text{média}}(t)é é a temperatura média volumétrica do sanduíche no tempo t.
  • Precisamos então obter a temperatura média. Na aproximação de primeiro termo, a temperatura média adimensional \theta_{\text{avg}} pode ser expressa em termos das mesmas integrais N e D. Mostro a relação resumida (derivação pela expansão em modos e integração volumétrica): \theta_{\text{avg}}(t)\approx 3\,\frac{N^2}{D}\,e^{-\lambda_1^2\mathrm{Fo}}.(A constante 3 surge porque a média volumétrica sobre \rho\in[0,1] envolve \int_0^1 \rho^2 d\rho=1/3.)
  • Usando os números já calculados: \frac{N^2}{D}=\frac{(0{,}4366)^2}{0{,}5977}\approx\frac{0{,}1906}{0{,}5977}\approx0{,}3189,então \theta_{\text{avg}}\approx 3\cdot 0{,}3189\cdot e^{-0{,}850}\approx0{,}9567\cdot0{,}427\approx0{,}4086.
  • Temperatura média: T_{\text{média}}(t)=T_\infty+\theta_{\text{avg}}(T_i-T_\infty) =20^\circ\mathrm{C}+0{,}4086\cdot50^\circ\mathrm{C}\approx20+20{,}43\approx40{,}43^\circ\mathrm{C}.é
  • Agora a massa do sanduíche (esfera): V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi(0{,}05)^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 1{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3} =4{,}18879\times1{,}25\times10^{-4}\approx5{,}23599\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.
m=\rho V\approx 980\cdot 5{,}23599\times10^{-4}\approx0{,}5121\\ \mathrm{kg}.
  • Capacidade térmica total m c_p: m c_p\approx 0{,}5121\cdot 3200\approx1638{,}8\\ \mathrm{J/K}.
  • Logo a energia liberada: Q=m c_p (T_i-T_{\text{média}})\approx1638{,}8\cdot(70-40{,}43)\\ \mathrm{J} =1638{,}8\cdot29{,}57\\ \mathrm{J}.éCálculo numérico: Q\approx1638{,}8\cdot29{,}57\approx48{,}4\times10^{3}\\ \mathrm{J}\approx48{,}4\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

T_{\text{centro}}(t=60\\ \mathrm{min})\approx51{,}6^\circ\mathrm{C}
Q\approx4{,}84\times10^{4}\\ \mathrm{J}\approx48{,}4\\ \mathrm{kJ}

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