Um canhão apontando verticalmente para cima, lança uma bala com velocidade inicial “v” a bala atinge uma altura máxima “h” em um tempo “t”. se o mesmo canhão, com as mesmas condições, lança uma bola com velocidade inicial "
", quais são a altura máxima atingida pela bala e o tempo necessário para atingir a altura máxima?
4 h e 2 t
e
het
Passo 1
O enunciado diz: um canhão, apontado verticalmente para cima, lança uma bala com velocidade inicial
. Com essa velocidade a bala atinge uma altura máxima
em um tempo
. Pergunta-se: se o canhão lançar agora com velocidade inicial
(mesmas condições), quais são (1) a nova altura máxima atingida e (2) o tempo necessário para alcançar essa altura máxima?
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
- velocidade inicial original:
- altura máxima correspondente:
- tempo para atingir essa altura:
- nova velocidade inicial:
Passo 2
Vamos identificar as variáveis e a relação básica entre elas (sem pular etapas). Definições e convenções que usaremos:
- Tome a direção para cima como positiva.
- Seja
a aceleração da gravidade (um número positivo: por exemplo , mas não precisamos do valor numérico para responder a questão). - Denotamos por
a velocidade inicial genérica; no caso original . - A altura máxima
é o deslocamento vertical entre o ponto de lançamento e o ponto mais alto atingido. No ponto mais alto a velocidade instantânea vertical é zero.
Agora, a fórmula básica de cinemática que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento é (vou explicar o que cada símbolo significa):
Aqui:
-
é a velocidade final no instante considerado, -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração constante (no nosso caso porque a gravidade aponta para baixo), -
é o deslocamento vertical ( ).
Aplicando essa fórmula do lançamento até o ponto mais alto: a velocidade final no topo é
, a aceleração é
, e o deslocamento vertical é
. Substituindo:
Isto é uma equação que liga
,
e
.
Passo 3
Resolva a equação anterior para
. A equação ficou:
Passos algébricos (bem devagar): isole o termo com
:
Agora divida ambos os lados por
:
Explicação: isso significa que a altura máxima depende do quadrado da velocidade inicial e é inversamente proporcional à gravidade. Note que aqui
é a velocidade inicial que você escolher — no caso original
, logo a fórmula particular é
Passo 4
Agora encontramos a relação para o tempo até o ponto máximo. A equação de velocidade escalar em função do tempo (com aceleração constante) é:
Aqui:
-
é a velocidade no instante , -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração (novamente ).
No topo a velocidade é zero, então:
Isolando o tempo até o máximo
:
No caso original com
, temos
Passo 5
Agora aplique essas fórmulas ao caso novo, com velocidade inicial
.
Primeiro a altura máxima nova
. Use a fórmula
com
:
Calcule o quadrado e simplifique passo a passo:
então
Mas como
(do passo 3), substituímos:
Portanto a nova altura máxima é quatro vezes a altura original.
Passo 6
Agora o tempo até o máximo com
. Use
:
E como
(do passo 4), obtemos:
Portanto o tempo para atingir a altura máxima dobra quando a velocidade inicial dobra.