Um canhão apontando verticalmente para cima, lança uma bala com velocidade inicial “v” a bala atinge uma altura máxima “h” em um tempo “t”. se o mesmo canhão, com as mesmas condições, lança uma bola com velocidade inicial " 2 v ", quais são a altura máxima atingida pela bala e o tempo necessário para atingir a altura máxima?
\bigcirc 2 h e t
\bigcirc 4 h e 2 t
\bigcirc 2 h e 4 t
\bigcirc 2 h e 2 t
\bigcirc het

Passo 1

O enunciado diz: um canhão, apontado verticalmente para cima, lança uma bala com velocidade inicial \,v\,. Com essa velocidade a bala atinge uma altura máxima \,h\, em um tempo \,t\,. Pergunta-se: se o canhão lançar agora com velocidade inicial \,2v\, (mesmas condições), quais são (1) a nova altura máxima atingida e (2) o tempo necessário para alcançar essa altura máxima?
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • velocidade inicial original: \,v\,
  • altura máxima correspondente: \,h\,
  • tempo para atingir essa altura: \,t\,
  • nova velocidade inicial: \,2v\,

Passo 2

Vamos identificar as variáveis e a relação básica entre elas (sem pular etapas). Definições e convenções que usaremos:
  • Tome a direção para cima como positiva.
  • Seja \,g\, a aceleração da gravidade (um número positivo: por exemplo \,g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, mas não precisamos do valor numérico para responder a questão).
  • Denotamos por \,v_0\, a velocidade inicial genérica; no caso original \,v_0=v\,.
  • A altura máxima \,h\, é o deslocamento vertical entre o ponto de lançamento e o ponto mais alto atingido. No ponto mais alto a velocidade instantânea vertical é zero.
Agora, a fórmula básica de cinemática que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento é (vou explicar o que cada símbolo significa):
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y.
Aqui:
  • \,v\, é a velocidade final no instante considerado,
  • \,v_0\, é a velocidade inicial,
  • \,a\, é a aceleração constante (no nosso caso \,a=-g\, porque a gravidade aponta para baixo),
  • \,\Delta y\, é o deslocamento vertical ( \Delta y = y - y_0).
Aplicando essa fórmula do lançamento até o ponto mais alto: a velocidade final no topo é \,0\,, a aceleração é \,-g\,, e o deslocamento vertical é \,h\,. Substituindo:
0 = v_0^2 + 2(-g)h.
Isto é uma equação que liga \,v_0\,, \,g\, e \,h\,.

Passo 3

Resolva a equação anterior para \,h\,. A equação ficou:
0 = v_0^2 - 2 g h.
Passos algébricos (bem devagar): isole o termo com \,h\,:
2 g h = v_0^2.
Agora divida ambos os lados por \,2g\,:
h = \frac{v_0^2}{2 g}.
Explicação: isso significa que a altura máxima depende do quadrado da velocidade inicial e é inversamente proporcional à gravidade. Note que aqui \,v_0\, é a velocidade inicial que você escolher — no caso original \,v_0=v\,, logo a fórmula particular é
h = \frac{v^2}{2 g}.

Passo 4

Agora encontramos a relação para o tempo até o ponto máximo. A equação de velocidade escalar em função do tempo (com aceleração constante) é:
v = v_0 + a t.
Aqui:
  • \,v\, é a velocidade no instante t,
  • \,v_0\, é a velocidade inicial,
  • \,a\, é a aceleração (novamente -g).
No topo a velocidade é zero, então:
0 = v_0 - g t_{\text{max}}.
Isolando o tempo até o máximo \,t_{\text{max}}\,:
t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g}.
No caso original com \,v_0=v\,, temos
t = \frac{v}{g}.

Passo 5

Agora aplique essas fórmulas ao caso novo, com velocidade inicial \,2v\,.
Primeiro a altura máxima nova \,h'. Use a fórmula \,h'=\dfrac{v_0'^2}{2g} com \,v_0'=2v\,:
h' = \frac{(2v)^2}{2 g}.
Calcule o quadrado e simplifique passo a passo:
(2v)^2 = 4 v^2,
então
h' = \frac{4 v^2}{2 g} = 2\cdot\frac{v^2}{g} = 4\cdot\frac{v^2}{2 g}.
Mas como \,h=\dfrac{v^2}{2g} (do passo 3), substituímos:
h' = 4 h.
Portanto a nova altura máxima é quatro vezes a altura original.

Passo 6

Agora o tempo até o máximo com \,v_0'=2v\,. Use \,t'=\dfrac{v_0'}{g}:
t' = \frac{2v}{g} = 2\cdot\frac{v}{g}.
E como \,t=\dfrac{v}{g} (do passo 4), obtemos:
t' = 2 t.
Portanto o tempo para atingir a altura máxima dobra quando a velocidade inicial dobra.

Resposta

\,4h\,
\,2t\,

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