Uma bola de aço de 0,514 kg está amarrada a um fio de 68,7 cm e é solta quando este está na horizontal (Fig. 32). No fim do arco de 90o descrito pela bola, ela atinge um bloco de aço de 2,63 kg que está em repouso numa superfície sem atrito; a colisão é elástica. Determine
(a) a velocidade da bola e
(b) a velocidade do bloco.
(a) a velocidade da bola e
(b) a velocidade do bloco.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de colisão elástica envolvendo uma bola de aço e um bloco de aço. A bola, com massa de 0,514 kg, está amarrada a um fio de 68,7 cm e é solta da posição horizontal, descrevendo um arco de 90 graus até colidir com um bloco de 2,63 kg que está em repouso em uma superfície sem atrito. Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de conservação de energia e conservação da quantidade de movimento em colisões elásticas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da bola no momento da colisão. A bola está inicialmente na posição horizontal, então toda a sua energia está na forma de energia potencial gravitacional. Quando ela desce os 90 graus, essa energia potencial é convertida em energia cinética.
Passo 3
A energia potencial gravitacional (U) é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa da bola (0,514 kg),
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²),
- $ h $ é a altura pela qual a bola desceu.
Passo 4
Para encontrar $ h $, consideramos que o fio forma um ângulo de 90 graus com a posição vertical. A altura $ h $ pode ser calculada usando a relação trigonométrica:
onde:
- $ L $ é o comprimento do fio (68,7 cm ou 0,687 m),
- $ \theta $ é o ângulo de 90 graus.
Como $ \cos(90°) = 0 $:
Passo 5
Agora, calculamos a energia potencial inicial:
Passo 6
Essa energia potencial se converte em energia cinética (K) no ponto de colisão:
Igualando $ U $ e $ K $:
Os termos $ m $ se cancelam:
Passo 7
Resolvendo para $ v $:
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b), determinar a velocidade do bloco após a colisão. Como a colisão é elástica, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética são conservadas.
Passo 9
As fórmulas para colisão elástica entre duas massas são:
onde:
- $ m_1 $ é a massa da bola (0,514 kg),
- $ m_2 $ é a massa do bloco (2,63 kg),
- $ v_1 $ é a velocidade inicial da bola (3,67 m/s),
- $ v_1’ $ é a velocidade da bola após a colisão,
- $ v_2’ $ é a velocidade do bloco após a colisão.
Passo 10
Estamos interessados na velocidade do bloco $ v_2’ $:
Substituindo os valores:
Resposta
(a) A velocidade da bola no momento da colisão é aproximadamente 3,67 m/s.
(b) A velocidade do bloco após a colisão é aproximadamente 1,20 m/s.