Qual é a força sobre uma comporta quadrada (1 x 1m) instalada no fundo de um reservatório de água de 2m de profundidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma comporta quadrada de 1x1 metro instalada no fundo de um reservatório que tem 2 metros de profundidade. O que precisamos calcular é a força que a água exerce sobre essa comporta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática, que estuda como a pressão da água varia com a profundidade e como isso gera uma força nas superfícies submersas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a pressão exercida pela água aumenta conforme a profundidade aumenta. A pressão em um determinado ponto na água pode ser calculada pela fórmula:
P = rho cdot g cdot h
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente P ),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ( rho ),
  • $ h $ é a profundidade.

Passo 3

Como a comporta tem uma área de 1 , m times 1 , m e está totalmente submersa a 2 metros de profundidade, a profundidade varia de 0 a 2 metros ao longo da altura da comporta. Para achar a força total, precisamos integrar a pressão ao longo da área da comporta.

Passo 4

Vamos considerar uma pequena faixa horizontal da comporta com altura dy na profundidade y. A pressão nessa faixa é:
P(y) = rho cdot g cdot y
A força nessa faixa é a pressão multiplicada pela área da faixa ( 1 , m times dy):
dF = P(y) cdot 1 cdot dy = rho cdot g cdot y cdot dy

Passo 5

Para achar a força total, integramos dF de y = 0 até y = 2:
F = integral0^2 rho cdot g cdot y , dy
Integrando:
F = rho cdot g cdot [ y^22 ]0^2 = rho cdot g cdot ( 42 - 0 ) = rho cdot g cdot 2

Passo 6

Substituindo os valores:
F = 1000 , kg/m^3 cdot 9,81 , m/s^2 cdot 2 , m = 19,620 , N

Resposta

A força exercida pela água sobre a comporta é de 19.620 Newtons.

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