Quando preenchido até sua capacidade máxima, um tanque despressurizado com 8 m de diâmetro externo contém
de coluna de água. Sabendo que a porção mais baixa do tanque tem parede com espessura de 16 mm , determine a tensão normal máxima e a tensão de cisalhamento máxima no tanque. (use
)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Diâmetro externo do tanque:
. - Altura da coluna de água:
. - Espessura da parede (na porção mais baixa):
. - Densidade da água:
. - Aceleração da gravidade:
.
- Diâmetro externo do tanque:
-
O problema pede:
- A tensão normal máxima no tanque.
- A tensão de cisalhamento máxima no tanque.
Observação importante: todas as quantidades físicas serão convertidas para unidades do SI (metros, quilogramas, segundos, pascal) antes de calcular.
Passo 2
Converter unidades e calcular a pressão hidrostática máxima na base do tanque.
-
Converter a densidade da água para
: -
Converter a espessura para metros:
-
A pressão hidrostática no fundo (pressão gauge, já que o tanque está despressurizado = aberto ao ar) é dada porVamos calcular:Ou seja,
.
Passo 3
Determinar o raio interno do cilindro (usado nas fórmulas de tensão).
- O diâmetro externo é
e a espessura é . O diâmetro interno é - O raio interno é
Passo 4
Verificar a hipótese de casca delgada (thin-walled) para usar as fórmulas simples.
- Razão espessura/raio:
Como , a hipótese de casca delgada é válida. Então podemos usar as fórmulas de membrana para tensões em cilindro sujeito a pressão interna.
Passo 5
Apresentar as fórmulas básicas (aula curta e direta).
-
Para um cilindro fino, sujeito a pressão interna
, as tensões normais médias na parede são: - Tensão circunferencial (hoop ou tangencial):
Aqui é a tensão normal no sentido circumferencial (tende a “estourar” o cilindro ao redor).
Variáveis:= pressão interna (Pa), = raio interno (m), = espessura (m). - Tensão longitudinal (axial):
Essa é a tensão no sentido ao longo do eixo do cilindro (metade da circunferencial para cilindro fechado).
- Tensão circunferencial (hoop ou tangencial):
-
Observação sobre tensões principais e cisalhamento máximo:
- No elemento de parede temos (aproximação de casca delgada) duas tensões principais de membrana:
e . A terceira componente principal (através da espessura) é muito menor e pode ser aproximada por zero para análise de tensões (estado de plane stress 3D onde ). - A tensão normal máxima (tensão principal máxima) será
porque . - A tensão de cisalhamento máxima (no sentido de máximo cisalhamento tridimensional) é
Tomando e , obtém-se (Se alguém preferir considerar apenas o plano da casca — cisalhamento in-plane — então a tensão de cisalhamento in-plane máxima seria . Vou calcular ambas as interpretações e indicar qual é a máxima no sentido tridimensional.)
- No elemento de parede temos (aproximação de casca delgada) duas tensões principais de membrana:
Passo 6
Calcular as tensões numéricas (contas passo a passo).
-
Calcular
: Primeiro o numerador:Agora dividir por: -
Calcular
:
Passo 7
Calcular a tensão de cisalhamento máxima (duas interpretações) e decidir qual é a máxima relevante.
-
Máxima cisalhamento tridimensional (entre maior e menor principal, com
): -
Máxima cisalhamento in-plane (entre
e ): -
Qual usar? A definição técnica de “tensão de cisalhamento máxima” sem qualificação geralmente refere-se ao maior valor tridimensional de cisalhamento, isto é,
. Portanto a tensão de cisalhamento máxima no tanque é . Se o enunciado quisesse o máximo cisalhamento no plano da casca, seria ; eu informei ambos para deixar claro.
Resposta
Tensão normal máxima (circunferencial/hoop):
Tensão de cisalhamento máxima (3D, entre
e
):