Quando preenchido até sua capacidade máxima, um tanque despressurizado com 8 m de diâmetro externo contém 15,5 \mathrm{~m} de coluna de água. Sabendo que a porção mais baixa do tanque tem parede com espessura de 16 mm , determine a tensão normal máxima e a tensão de cisalhamento máxima no tanque. (use \rho_{\text {água }}=1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, \mathrm{~g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}á )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
    • Diâmetro externo do tanque: D_{\text{ext}}=8\\ \mathrm{m}.
    • Altura da coluna de água: h=15{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Espessura da parede (na porção mais baixa): t=16\\ \mathrm{mm}.
    • Densidade da água: \rho_{\text{água}}=1\\ \mathrm{g/cm^3}á.
    • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O problema pede:
    • A tensão normal máxima no tanque.
    • A tensão de cisalhamento máxima no tanque.
Observação importante: todas as quantidades físicas serão convertidas para unidades do SI (metros, quilogramas, segundos, pascal) antes de calcular.

Passo 2

Converter unidades e calcular a pressão hidrostática máxima na base do tanque.
  • Converter a densidade da água para \mathrm{kg/m^3}:
    \rho_{\text{água}} = 1\\ \mathrm{g/cm^3} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.á
  • Converter a espessura para metros:
    t = 16\\ \mathrm{mm} = 0{,}016\\ \mathrm{m}.
  • A pressão hidrostática no fundo (pressão gauge, já que o tanque está despressurizado = aberto ao ar) é dada por
    p = \rho g h.
    Vamos calcular:
    p = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times 10\\ \mathrm{m/s^2}\times 15{,}5\\ \mathrm{m} = 155000\\ \mathrm{Pa}.
    Ou seja, p = 155\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Determinar o raio interno do cilindro (usado nas fórmulas de tensão).
  • O diâmetro externo é D_{\text{ext}}=8\\ \mathrm{m} e a espessura é t=0{,}016\\ \mathrm{m}. O diâmetro interno é D_{\text{int}} = D_{\text{ext}} - 2t = 8 - 2(0{,}016) = 7{,}968\\ \mathrm{m}.
  • O raio interno é r = \frac{D_{\text{int}}}{2} = \frac{7{,}968}{2} = 3{,}984\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Verificar a hipótese de casca delgada (thin-walled) para usar as fórmulas simples.
  • Razão espessura/raio: \frac{t}{r} = \frac{0{,}016}{3{,}984}\approx 0{,}0040.Como \dfrac{t}{r}\ll 0{,}1, a hipótese de casca delgada é válida. Então podemos usar as fórmulas de membrana para tensões em cilindro sujeito a pressão interna.

Passo 5

Apresentar as fórmulas básicas (aula curta e direta).
  • Para um cilindro fino, sujeito a pressão interna p, as tensões normais médias na parede são:
    • Tensão circunferencial (hoop ou tangencial): \sigma_\theta = \frac{p\,r}{t}.Aqui \sigma_\theta é a tensão normal no sentido circumferencial (tende a “estourar” o cilindro ao redor).
      Variáveis: p = pressão interna (Pa), r = raio interno (m), t = espessura (m).
    • Tensão longitudinal (axial): \sigma_a = \frac{p\,r}{2t}.Essa é a tensão no sentido ao longo do eixo do cilindro (metade da circunferencial para cilindro fechado).
  • Observação sobre tensões principais e cisalhamento máximo:
    • No elemento de parede temos (aproximação de casca delgada) duas tensões principais de membrana: \sigma_\theta e \sigma_a. A terceira componente principal (através da espessura) é muito menor e pode ser aproximada por zero para análise de tensões (estado de plane stress 3D onde \sigma_3\approx 0).
    • A tensão normal máxima (tensão principal máxima) será \sigma_\theta porque \sigma_\theta>\sigma_a.
    • A tensão de cisalhamento máxima (no sentido de máximo cisalhamento tridimensional) é \tau_{\max} = \frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2}.Tomando \sigma_{\max}=\sigma_\theta e \sigma_{\min}\approx 0, obtém-se \tau_{\max}=\frac{\sigma_\theta-0}{2}=\frac{\sigma_\theta}{2}.(Se alguém preferir considerar apenas o plano da casca — cisalhamento in-plane — então a tensão de cisalhamento in-plane máxima seria \dfrac{\sigma_\theta-\sigma_a}{2}. Vou calcular ambas as interpretações e indicar qual é a máxima no sentido tridimensional.)

Passo 6

Calcular as tensões numéricas (contas passo a passo).
  • Calcular \sigma_\theta:
    \sigma_\theta = \frac{p\,r}{t} = \frac{155000\\ \mathrm{Pa}\times 3{,}984\\ \mathrm{m}}{0{,}016\\ \mathrm{m}}.
    Primeiro o numerador:
    155000\times 3{,}984 = 617520\\ (\mathrm{Pa\cdot m}).
    Agora dividir por 0{,}016:
    \sigma_\theta = \frac{617520}{0{,}016} = 38\,595\,000\\ \mathrm{Pa} = 38{,}595\\ \mathrm{MPa}.
  • Calcular \sigma_a:
    \sigma_a = \frac{\sigma_\theta}{2} = 19{,}2975\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Calcular a tensão de cisalhamento máxima (duas interpretações) e decidir qual é a máxima relevante.
  • Máxima cisalhamento tridimensional (entre maior e menor principal, com \sigma_3\approx 0):
    \tau_{\max}^{(3D)} = \frac{\sigma_\theta-0}{2} = \frac{\sigma_\theta}{2} = \frac{38{,}595\\ \mathrm{MPa}}{2} = 19{,}2975\\ \mathrm{MPa}.
  • Máxima cisalhamento in-plane (entre \sigma_\theta e \sigma_a):
    \tau_{\max}^{(\text{in-plane})} = \frac{\sigma_\theta-\sigma_a}{2} = \frac{38{,}595 - 19{,}2975}{2}\\ \mathrm{MPa} = 9{,}64875\\ \mathrm{MPa}.
  • Qual usar? A definição técnica de “tensão de cisalhamento máxima” sem qualificação geralmente refere-se ao maior valor tridimensional de cisalhamento, isto é, \tau_{\max}^{(3D)}. Portanto a tensão de cisalhamento máxima no tanque é 19{,}2975\\ \mathrm{MPa}. Se o enunciado quisesse o máximo cisalhamento no plano da casca, seria 9{,}64875\\ \mathrm{MPa}; eu informei ambos para deixar claro.

Resposta

Tensão normal máxima (circunferencial/hoop): 38{,}595\\ \mathrm{MPa}
Tensão de cisalhamento máxima (3D, entre \sigma_{\max} e \sigma_{\min}): 19{,}2975\\ \mathrm{MPa}

Exercícios relacionados